Question

辛普森公式是什么，怎么推导的？

Answer 1

辛普森（Simpson）公式是牛顿-科特斯公式当n=2时的情形，也称为三点公式。利用区间二等分的三个点来进行积分插值。其科特斯系数分别为1/6，4/6，1/6。

例1：计算底面积为S、高为h的柱体的体积。

解：此题中S_1 = S_0 = S_2 = S，H = h，所以V = H (S_1 + 4S_0 + S_2) /6 = h (S + 4S + S) /6 = S h。

例2：计算底面积为S、高为h的锥体的体积。

解：此题中S_1 = S，S_0 = S /4，S_2 = 0，H = h，所以V = H (S_1 + 4S_0 + S_2) /6 = h (S + 4S /4 + 0) /6 = S h /3。

只需要证明根据公式算出来的体积和用积分算出来的体积相等即可。

设截面面积是截面高h的不超过3次的函数：f(h)= ah^3 + bh^2 + ch + d。

那么，利用积分计算体积，可以得到（积分限为0~h）：

V = ∫ f(x) dx

= ah^4 /4 + bh^3 /3 + ch^2 /2 +dh。

利用公式计算体积，可以得到：

V = H (S_1 + 4S_0 + S_2) /6

= h ( f(0) + 4f(h/2) + f(h) ) /6

= h [ d + 4 (ah^3 /8 + bh^2 /4 + ch /2 + d) + (ah^3 + bh^2 + ch + d) ]/6

= ah^4 /4 + bh^3 /3 + ch^2 /2 +dh。

因此两式相等，公式得证。

Remark：当函数f(h)次数高于或等于4次时，公式一般不成立。这只需验证f(h)=h^4时公式不成立即可。