Question

设y=arcsinx,证明：（1-x^2）y"-xy'=0,并求y^（n）（0）

Answer 1

设y=arcsinx,证明：（1-x^2）y"-xy'=0,并求y^（n）（0）
【说明】我将y^（n）（0）认为是函数y=arcsinx的n阶导数在x=0时的值，下面所有叙述中^均表示高阶导数。
【解】先求y=arcsinx的一阶导数
y'=1/根号（1-x的平方）
再求y=arcsinx的二阶导数
y"=x/二分之三次根（1-x的平方）
将上述两式代入（1-x的平方）y"-xy'中，容易得出：（1-x的平方）y"-xy'=0
第二问较麻烦
利用上面证明得到的：（1-x的平方）y"-xy'=0，使用莱布尼兹公式
（1-x的平方）y^(n+2)-2nxy^(n+1)-n(n-1)y^n-xy^(n+1)-ny^n=0【式中^表示高阶导数】
因为你求的是x=0时的高阶导数，将x=0代入上式，得：
y^(n+2)-n(n-1)y^n-ny^n=0
去括号等简单运算：y^(n+2)=n的平方倍y^n
由于当x=0时：y'=1，y"=0
所以：当 n为偶数时，y^（n）（0）=0
当n为奇数时，y^（n）（0）=（n-1)的平方y^（n-1）（0）
=（n-1)的平方(n-3)的平方y^（n-3）（0）
=……
=(1*3*5*…… n)的平方
【OK】