Question

已知函数f(x)=2的x次方+2的负x次方a(常数a属于R) 若a小于等于4，求证；函数f（x）在区间【1，正无穷】上是

已知函数f(x)=2^x+2^-x乘a(常数a属于R)
若a小于等于4，求证；函数f（x）在区间【1，正无穷】上是增函数。

Answer 1

f(x) = 2^x+2^(-x) *a
x∈【1，+∞）
令1≤x1＜x2
f(x2)-f(x1) = 【2^x2+2^(-x2) *a】-【2^x1+2^(-x1) *a】
= (2^x2 - 2^x1) + a{ 1/2^x2 - 1/2^x1 }
= (2^x2 - 2^x1) + a ( 2^x1-2^x2)/(2^x2 * 2^x1)
= (2^x2 - 2^x1) - a ( 2^x2-2^x1)/(2^x2 * 2^x1)
= (2^x2 - 2^x1) { 1 - a /2^(x1+x2) }
= (2^x2 - 2^x1) { 2^(x1+x2) - a} / 2^(x1+x2)
∵x2＞x1，∴2^x2 - 2^x1＞0
∵x2＞x1≥1，∴x1+x2＞2x1＞2，∴2^(x1+x2)＞4，又a≤4，∴2^(x1+x2) - a＞0
∴ f(x2)-f(x1) = (2^x2 - 2^x1) { 2^(x1+x2) - a} / 2^(x1+x2) ＞0
∴ f(x2)＞f(x1)
∴函数f（x）在区间【1，正无穷】上是增函数

Answer 2

设x1，x2∈[1，+∞），且x1＞x2，
则 f(x1)-f(x2)=(2^x1+2^(-x1)*a)-(2^x2+2^(-x2)*a)
= (2^x1-2^x2)+(2^x2-2^x1)a/(x1+x2)
= (2^x1-2^x2)*(2^(x1+x2)-a)/2^(x1+x2)
由x1＞x2，可得 2^x1＞2^x2，即 2^x1-2^x2＞0
由x1，x2∈[1，+∞），x1＞x2，可得x1+x2＞2，
故 2^(x1+x2)＞4＞0，
又a≤4，故 2^(x1+x2)＞a，即 2^(x1+x2)-a＞0
所以f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
故函数f（x）在[1，+∞）上是增函数．