Question

二重积分为什么积出来的是体积？

Answer 1

你要从二重积分积分的意义和本质上理解较为简单。

给你个对二重积分本质的比较形象的理解，就是要充分理解这张图。

z=f(x,y)就是积分函数，他是个由x,y共同决定的算式。

积分的过程就是：

把xoy这个平面，无限的分成一堆小区域（你可以理解为一堆小圆圈或者小方格），把每个小区域的面积，乘以这个小区域对应的f(x,y)。最后把这些值都加起来。

如果f(x,y)是个常数k呢，那么结果就是：每个小区域的面积都乘以这个不变的常数，然后把他们加起来。这样我们就可以把这个常数k提出来。

积分结果为：常数k*所有小面积的加和。

因为所有小面积的加和就是整个积分区域的面积，所以，积分结果就为：

整个积分区域面积的k倍。（你之前的描述是不准确的）

其实就是一个以整个积分区域为横截面，高度为K的一个柱体的体积。（注意，从意义上说，二重积分积出来的都是体积，不是面积，只不过柱体的体积就等于面积的k倍）

这样应该可以让你从本质上，直观的理解二重积分，也就知道了你问的那个问题了。