Question

D是三角形ABC的边BC的中点，E是AC边上一点，BA和DE的延长线交于点F。求证：EA*FB=EC*FA

Answer 1

证明：过D点做AC的平行线交AB与M点，设DM＝a，MB＝b，因为三角形DMF与三角形AEF相似，三角形MBD与三角形ABC相似，
故a/AE＝（b+FB)/FA, a/(AE+EC)＝1/2，AB＝2b＝AF-BF,将2b＝AF-BF和
a＝（1/2）*(AE+EC)代入a/AE＝（b+FB)/FA 中化简可得EA×FB=EC×FA

Answer 2

证明：
在FD的延长线上截取DH=FD，连接CH
∵FD=DH，BD=CD，∠BDF=∠CDH
∴⊿BDF≌⊿CDH（SAS）
∴BF=HC，
∠F =∠H
又∵∠AEF=∠CEH
∴⊿AEF∽⊿CEH（AA‘）
∴EA ：FA=EC：HC
转化为EA×HC=EC×FA
∴EA×FB=EC×FA【等量代换】