Question

若{ an}是等差数列,求证{ Sn}也是等差数列

Answer 1

若{an}是等差数列,求证{Sn/n}是等差数列
【证明】
设等差数列{an}首项为a1,公差为d.
则由等差数列求和公式，得Sn=na1+n(n-1)d/2
Sn/n=a1+(n-1)d/2
Sn-1/(n-1)=a1+(n-2)d/2
S1/1=a1
Sn/n-Sn-1/(n-1)
=a1+(n-1)d/2-a1-(n-2)d/2=d/2，为定值。
数列{Sn/n}为首项是a1，公差是d/2的等差数列。

{Sn/n}是等差数列，求证{an}是等差数列
【证明】
因为{Sn/n}是等差数列，所以可设Sn/n=an+b(a,b是常数)。
则Sn=an^2+bn.
当n=1时，a1=S1=a+b
当n>=2时，an=Sn-S(n-1)=(a*n^2 +bn)-[a*(n-1)^2 +b(n-1)]
=2an-a+b ,
所以an=2an-a+b
则a(n+1)=2a(n+1)-a+b 从而a(n+1)-an=2a为常数
因此{an}是等差数列，且a1=a+b，d=2a。