Question

如何理解离散数学中的闭包运算？

Answer 1

离散数学三种闭包的求法如下：

对称闭包的矩阵运算规则：关系 R 是对称的当且仅当 R 的关系矩阵 (rij)n×n 为对称矩阵, 即r[i][j]=r[j][i].

传递闭包的矩阵运算规则：关系 R 是传递的当且仅当在 R 的关系矩阵中, 对任意 i,j,k∈{1,2,··· ,n}，若 rij = 1 且 rjk = 1，必有 rik = 1.

自反闭包的矩阵运算规则：关系 R 是自反的当且仅当 R 的关系矩阵的主对角线上全为 1.

闭包运算，什么是闭包呢？引：设R是A上的二元关系，我们希望R具有某些有用的性质，如自反性。如果R不具有自反性，则可以通过在R中添加一部分有序对来改造R，得到新的关系R'，使得R'具有自反性。但又不希望R'和R相差太多。

换句话说，添加的有序对要尽可能少，满足这些要求的R'就称作R的自反闭包，通过添加有序对来构造的闭包除自反闭包外还有对称闭包和传递闭包。设R是A上的二元关系，R的自反（对称、传递）闭包是关系R'，使R'是自反（对称、传递）的；R'包含R；对任何自反（对、传）的关系R''，如果R''包含R，那么R''包含R'。