Question

设数列{an}的前n项和为Sn，若对于任意的正整数n都有Sn=2an-3n

（1）设bn=an+3,求证：数列{bn}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式
（2）求数列{nan}的前n项和

Answer 1

(1)因为：Sn=2an-3n
S(n-1)=2a(n-1)-3(n-1)
an=Sn-S(n-1)（n>=2)
所以：an=2a(n-1)-3
配方得：an+3=2[a(n-1)+3]
因为：bn=an+3 b(n-1)=a(n-1)+3
所以：bn=2b(n-1)
所以bn是以公比为2的等比数列。
因为Sn=2an-3n所以a1=2a1-3
则a1=3 b1=6
所以bn=3*2n 【这其中2n代表2的n次方】
an=3*2n -3 【这其中2n代表2的n次方】
(2)设nan的前n项和为Tn
nan=n[3*2n -3]【这其中2n代表2的n次方】
nan减号前的一个式子是一个等差数列乘一个等比数列 其前n项和用错位相减法，减号后面的那个式子是等差数列，其前n项和用等差数列的前n项和公式求
由于太难打 我把方法说了
这些方法都是数列经常用的
我算的结果是：Tn=3（n-1）*2^(n+1)-3n(n+1)/2+6 【其中2^(n+1)是2的n=+1次方】仅供参考

Answer 2

Sn=2an-3n Sn-1=2(an-1)-3(n-1) an=2an-2(an-1)-3 an=2(an-1)+3
bn= 2(an-1)+3+3 bn-1=(an-1)+3 bn/bn-1=2(an-1)+6/(an-1)+3 =2 所以q=2
所以 是等比数列

Answer 3

解：
（1）Sn=2an-3n
S(n-1)=2a(n-1)-3(n-1)
两式相减，
an=2an-2a(n-1)+3
an=2a(n-1)-3
an-3=2[a(n-1)-3]
bn=2b(n-1)
在Sn=2an-3n中，令n=1
得：a1=2a1-3，a1=3
b1=a1-3=0
......

追问

什么意思啊
可以详细点吗？谢谢

追答

那你既然会做，何必花力气来问呢？对自己要有信心好不
（1）Sn=2an-3n
S(n-1)=2a(n-1)-3(n-1)
两式相减，
an=2an-2a(n-1)-3
an=2a(n-1)+3
an+3=2[a(n-1)+3]
bn=2b(n-1)
在Sn=2an-3n中，令n=1
得：a1=2a1-3，a1=3
b1=a1+3=6
bn=b1·2^(n-1)=3·2^n得证
an=bn-3=3·2^n-3
求数列{nan}的前n项和，用确实用错位法
但是我看过有些文献有稍微好点的方法，你可以参考一下。

Answer 4

1)n=1时,a1=s1=2a1-3,
∴a1=3
n>1时
sn=2an-3n①
s(n-1)=2a(n-1)-3(n-1)②
①-②得
an=sn-s(n-1)=2an-2a(n-1)-3
∴an=2a(n-1)+3
∴an+3=2a(n-1)+6=2[a(n-1)+3],
a1+3=6
∴{an+3}是首项为6,公比为2的等比数列
∴an+3=6×2^(n-1)=3×2^n
∴an=3×2^n-3
2)sn=2an-3n=2×(3×2^n-3)-3n=3×2^(n+1)-3n-6