Question

超级几何难题！！！

直角梯形ABCD，上底AB，下底DC，高AD，对角线AC、BD交于O，OE垂直交于AD与点E。已知BD=2，AC=3，OE=1，求AD=？
经过估算 AD约=1.23
AE约=0.45
EB约=0.78

Answer 1

设AD=x
则有
DC=(9-x^2)^0.5
AB=(4-x^2)^0.5
又因为OE垂直于AD OE平行于AB、DC
AE/AD=OE/DC=1/(9-x^2)^0.5 AE=x/(9-x^2)^0.5
DE/AD=OE/DC=1/(4-x^2)^0.5 DE=x/(4-x^2)^0.5
AD=AE+ED=x/(4-x^2)^0.5+x/(9-x^2)^0.5=x
1/(4-x^2)^0.5+1/(9-x^2)^0.5=1
(9-x^2)^0.5+(4-x^2)^0.5=(4-x^2)^0.5*(9-x^2)^0.5
令(4-x^2)^0.5=y则有
(9-x^2)^0.5+(4-x^2)^0.5=(4-x^2)^0.5*(9-x^2)^0.5
(5+y^2)^0.5+y=y*(5+y^2)^0.5
把这个方程解出来即可
貌似有点困难

追问

谢，但解这个方程的结果是一个非常繁杂的式子。

Answer 2

sinBDC=AD/BD,sinACD=AD/AC，得到sinBDC/sinACD=3/2
sinADB=AB/BD,sinDAC=CD/AC，得到sinADB/sinDAC=2AB/3CD
由角ADB+角BDC=90度，角ACD+角DAC=90
得到AB/CD=4/9
三角形AEO相似于三角形ADC,得到EO/CD=4/9，由OE=1得到CD=9/4，从而得到AB=1
在直角三角形中，BD^2-AB^2=AD^2，得到AD=√3

追问

AB=OE?

追答

是的=1

追问

sinADB/sinDAC=2AB/3CD 不对，应=3AB/2CD
AB/CD=4/9, 很难理解
图形很明显AB>1
经过大约估算AD=1.23...

Answer 3

6/13^1/2 对角线垂直 面积为对角线之积的一半，左移短的对角线构成直角三角形算出斜边13^1/2再算出AD

追问

对角线垂直?

Answer 4

设未知数oD=2x.oc=3x.oA=3y.oB=2y.其中x+y=1.在对三角形AEO与ADC用相似可得DC=1/y.同理AB=1/x.又BD^2减AB^2=AD^2.及AC^2减CD^2=AD^2和X+Y=1解AD

追问

那AD=?

追答

你猜呢？

Answer 5

解这个一元4次方程可得 1.23118