Question

如图，二次函数y=-x²+bx+c的图象与x轴交于A(-1/2,0)，B(2,0)两点，且与y轴交于点C。

（1）求该抛物线的解析式；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）在此抛物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标（要过程）；若不存在，说明理由。

Answer 1

(1)因为：二次函数y=-x²+bx+c的图象与x轴交于A(-1/2,0)，B(2,0)两点
所以-x²+bx+c = 0的一元二次方程的跟为x1= -1/2，x2= 2;得出 b= 3/2 c= 1
所以：y = -x²+(3/2)*x+1
(2)直角三角型，AC的平方等于5/4,AB的平方等于25/4.BC的平方等于5 ;
AC的平方+BC的平方 = AB的平方;
(3) 看是否存在一条直线以BC的斜率为斜率过A点，是否抛物线相交。
这条直线的斜率：k =-1/2,A(-1/2,0) 所以直线方程为 y= (-1/2)*x-1/4;
y= (-1/2)*x-1/4;
y = -x²+(3/2)*x+1;联立得p点的横坐标位置应大于对称轴x = 3/2;
p（5/2,-3/2)

Answer 2

分别将A、B两点代入，解出b、c
根据题意
-1/4-b/2+c=0
-4+4b+c=0
解出b=5/6，c=2/3
所以，y=-x²+5x/6+2/3
则，C点坐标为(0,2/3)

Answer 3

解：（1）由题意得：
-14-a2+b=0-4+2a+b=0
，
解得
a=32b=1
；
∴抛物线的解析式为y=-x2+
3
2
x+1；
∴C（0，1）；
∴AC2=
1
4
+1=
5
4
，BC2=1+4=5，AB2=（2+
1
2
）2=
25
4
；
∴AC2+BC2=AB2，即△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°；
（2）由（1）的抛物线知：其对称轴方程为x=
3
4
；
根据抛物线和等腰梯形的对称性知：点D（
3
2
，1）；
（3）存在，点P（
5
2
，-
3
2
）或（-
5
2
，-9）；
若以A、C、B、P四点为顶点的直角梯形以BC、AP为底；
∵B（2，0），C（0，1），
∴直线BC的解析式为：y=-
1
2
x+1；
设过点A且平行于BC的直线的解析式为y=-
1
2
x+h，
则有：（-
1
2
）×（-
1
2
）+h=0，h=-
1
4
；
∴y=-
1
2
x-
1
4
；
联立抛物线的解析式有：
y=-12x-14y=-x2+32x+1
，
解得
x=-12y=0
，
x=52y=-32
；
∴点P（
5
2
，-
3
2
）；
若以A、C、B、P四点为顶点的直角梯形以AC、BP为底，
同理可求得P（-
5
2
，-9）；
故当P（
5
2
，-
3
2
）或（-
5
2
，-9）时，以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形．
（根据抛物线的对称性求出另一个P点坐标亦可）