Question

相似矩阵的特征值相同，特征向量一定相等吗？

Answer 1

它们的特征值相同，特征向量不一定相同。

相似则特征多项式相同，
所以矩阵A和B的特征值相同。

而对于相同的特征值x，
An=xn，n为特征向量，一样的矩阵特征向量不一定相同。

扩展资料：

一、矩阵的特征值求值方法：

Ax=mx，等价于求m，使得(mE-A)x=0，其中E是单位矩阵，0为零矩阵。

|mE-A|=0，求得的m值即为A的特征值。|mE-A| 是一个n次多项式，它的全部根就是n阶方阵A的全部特征值，这些根有可能相重复，也有可能是复数。

如果n阶矩阵A的全部特征值为m1 m2 ... mn，则|A|=m1*m2*...*mn

同时矩阵A的迹是特征值之和：tr（A）=m1+m2+m3+…+mn[1]

如果n阶矩阵A满足矩阵多项式方程g(A)=0, 则矩阵A的特征值m一定满足条件g(m)=0;特征值m可以通过解方程g(m)=0求得。

还可用mathematica求得。

二、矩阵的特征向量求值方法：

对于矩阵A，由AX=λ0X，λ0EX=AX，得[λ0E-A]X=θ即齐次线性方程组

有非零解的充分必要条件是：

即说明特征根是特征多项式|λ0E-A| =0的根，由代数基本定理

有n个复根λ1,λ2,…,λn，为A的n个特征根。

当特征根λi(I=1,2,…,n)求出后，(λiE-A)X=θ是齐次方程，λi均会使|λiE-A|=0，(λiE-A)X=θ必存在非零解，且有无穷个解向量，(λiE-A)X=θ的基础解系以及基础解系的线性组合都是A的特征向量。