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lim(1/n^2+1+2/n^2+2+...+n/n^2+n) n区域无限
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结果为:π/4
截图过程如下:
原式=lim(n->∞) ∑(i:1->n) √(n^2-i^2)/n^2
=lim(n->∞) (1/n) ∑(i:1->n) √(1-(i/n)^2)
=∫(0->1) √(1-x^2) dx
=π/4
扩展资料
求函数极限的方法:
利用函数连续性,直接将趋向值带入函数自变量中,此时要要求分母不能为0。
当分母等于零时,就不能将趋向值直接代入分母,因式分解,通过约分使分母不会为零。若分母出现根号,可以配一个因子使根号去除。
如果趋向于无穷,分子分母可以同时除以自变量的最高次方。(通常会用到这个定理:无穷大的倒数为无穷小)
采用洛必达法则求极限,当遇到分式0/0或者∞/∞时可以采用洛必达,其他形式也可以通过变换成此形式。符合形式的分式的极限等于分式的分子分母同时求导。
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1/n^2+1+2/n^2+2+...+n/n^2+n
若令分母都为最小的分母n^2+1,则值会增大
分母为最大的n^2+n,值会减小,即
1/n^2+n+2/n^2+n+...+n/n^2+n
<=1/n^2+1+2/n^2+2+...+n/n^2+n
<=1/n^2+1+2/n^2+1+...+n/n^2+1
即
(1+2+...+n)/n^2+n <= 1/n^2+1+2/n^2+2+...+n/n^2+n <=(1+2+...+n)/n^2+1
.5n(n+1)/n^2+n <= 1/n^2+1+2/n^2+2+...+n/n^2+n <=.5n(n+1)/n^2+1
两边都取极限
得到1/2<=极限<=1/2
所以
lim 1/n^2+1+2/n^2+2+...+n/n^2+n =1/2
若令分母都为最小的分母n^2+1,则值会增大
分母为最大的n^2+n,值会减小,即
1/n^2+n+2/n^2+n+...+n/n^2+n
<=1/n^2+1+2/n^2+2+...+n/n^2+n
<=1/n^2+1+2/n^2+1+...+n/n^2+1
即
(1+2+...+n)/n^2+n <= 1/n^2+1+2/n^2+2+...+n/n^2+n <=(1+2+...+n)/n^2+1
.5n(n+1)/n^2+n <= 1/n^2+1+2/n^2+2+...+n/n^2+n <=.5n(n+1)/n^2+1
两边都取极限
得到1/2<=极限<=1/2
所以
lim 1/n^2+1+2/n^2+2+...+n/n^2+n =1/2
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无穷
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