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二次函数的图象和性质2010-11-20 14:341、二次函数y=ax2＋c的图象与性质
(1)抛物线y=ax2＋c的形状由a决定，位置由c决定．
(2)二次函数y=ax2＋c的图象是一条抛物线，顶点坐标是(0，c)，对称轴是y轴．
当a>0时，图象的开口向上，有最低点(即顶点)，当x=0时，y最小值=c．在y轴左侧，y随x的增大而减小；在y轴右侧，y随x增大而增大．
当a<0时，图象的开口向下，有最高点(即顶点)，当x=0时，y最大值=c．在y轴左侧，y随x的增大而增大；在y轴右侧，y随x增大而减小．
(3)抛物线y=ax2＋c与y=ax2的关系．
抛物线y=ax2＋c与y=ax2形状相同，只有位置不同．抛物线y=ax2＋c可由抛物线y=ax2沿y轴向上或向下平行移动|c|个单位得到．当c>0时，向上平行移动，当c<0时，向下平行移动．
2、二次函数y=a(x－h)2的图象与性质
①抛物线y=a(x－h)2的对称轴为x=h，顶点为(h，0)．
②y=a(x－h)2的形状与y=ax2的图象的形状相同，只是位置不同，它们彼此可以通过平移而得到．
③把y=ax2的图象向左(或向右)平移|h|个单位，即得y=a(x－h)2的图象，由实践可知，当h＞0时，向右平移，当h＜0时，向左平移．
3、二次函数y=a(x－h)2＋k的图象与性质
一般地，抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2的形状相同，只是位置不同．抛物线y=a(x－h)2＋k有如下特点：
①a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下；
②对称轴是平行于y轴的直线x=h；
③顶点坐标是(h，k)．
二次函数y=a(x－h)2＋k的图象可由抛物线y=ax2向左(或向右)平移|h|个单位，再向上(或向下)平移|k|个单位而得到．
4、二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质
即可化为y=a(x－h)2＋k的形式，因此y=ax2＋bx＋c与y=a(x－h)2＋k的图象具有一致性，即y=ax2＋bx＋c的图象是一条抛物线，它的顶点坐标为，对称轴是直线．
当a＞0时，抛物线开口向上，有最低点(即顶点)，当时，，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．
当a＜0时，抛物线开口向下，有最高点(即顶点)，当时，．在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．
由于y=ax2＋bx＋c可化为的形式，所以抛物线y=ax2＋bx＋c可由抛物线y=ax2平移得到：
第一步：若时，把y=ax2的图象向右平移个单位；若时，把y=ax2的图象向左平移个单位；
第二步：若时，再把第一次平移后的图象向上平移个单位；若时，再把第一步平移后的图象向下平移个单位．
所以抛物线y=ax2＋bx＋c与抛物线y=ax2的形状相同，只是位置不同．
5、二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的画法
（1）先确定二次函数的对称轴，在对称轴的左右两侧取自变量x的值，通过列表、描点，用光滑曲线连接得到图象．
（2）通过二次函数的图象进行平移得到抛物线y=ax2＋bx＋c的图象．
6、抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)与系数a、b、c的关系
a、b、c的代数式
作用
字母的符号
图象的特征
a
1．决定抛物线的开口方向；
2．决定增减性
a＞0
开口向上
a＜0
开口向下
c
决定抛物线与y轴交点的位置，交点坐标为(0，c)
c＞0
交点在x轴上方
c=0
抛物线过原点
c＜0
交点在x轴下方
决定对称轴的位置，对称轴是
ab＞0
对称轴在y轴左侧
ab＜0
对称轴在y轴右侧
二、重难点知识讲解
1、二次函数的三种形式：
（1）一般式：y=ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，a≠0)；
（2）顶点式：y=a(x－h)2＋k，（h，k）为函数图象的顶点；
（3）交点式：y=a(x－x1)(x－x2)，(x1，0) ， (x2，0)为函数图象与x轴的交点.
2、图象的变换
二次函数的平移规律：任意抛物线y=ax2＋bx＋c都可转化为y=a（x－h）2＋k，便可以由y=ax2适当平移得到．
y=ax2
h＞0向右平移个单位
y=a(x－h)2
k＞0向上平移个单位长度
y=a(x－h)2＋k
h＜0向左平移个单位
k＜0向下平移个单位长度
3、根据已知条件正确求出二次函数的关系式
用待定系数法求函数解析式时，应当根据已知条件选择适当的二次函数的形式．如果知道函数图象与x轴的交点，那么选择交点式；如果知道函数图象的顶点，那么选择顶点式；如果知道函数图象上三个一般的点，那么选择一般式．
一次函数
I、定义与定义式： 一次函数
自变量x和因变量y有如下关系：
y=kx+b（k，b为常数，k≠0）
则称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。
II、一次函数的性质：
y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k
即 △y/△x=k
III、一次函数的图象及性质：
1． 作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图象——一条直线。因此，作一次函数的图象只需知道2点，并连成直线即可。
2． 性质：在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。
3． k，b与函数图象所在象限。
当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；
当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b＞0时，直线必通过一、二象限；当b＜0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图象。
这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。
IV、确定一次函数的表达式：
已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。
（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。
（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：
y1=kx1+b① 和 y2=kx2+b②。
（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。
（4）最后得到一次函数的表达式。
V、在y=kx+b中,两个坐标系必定经过(0,b)和(-k/b,0)两点
1）反比例函数的图象是双曲线，反比例函数图象的两个分支关于原点对称．
（2）当k>0时，反比例函数图象的两个分支分别在第一、三象限内，且在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，且在每个象限内，y随x的增大而增大．
注意：不能说成“当k＞0时，反比例函数y随x的增大而减小，当k＜0时，反比例函数y随x的增大而增大.”因为，当x由负数经过0变为正数时，上述说法不成立.
(3) 反比例函数解析式的确定：反比例函数的解析式y= (k≠0)中只有一个待定系数k，因而只要有一组x、y的对应值或函数图象上一点的坐标，代入函数解析式求得k的值，就可得到反比例函数解析式.
5．反比例函数解析式的确定
在反比例函数y= (k≠0)定义中，只有一个常数，所以求反比例函数的解析式只需确定一个待定系数k，反比例函数即可确定. 所以只要将图象上一点的坐标代入y= 中即可求出k值.
(1)抛物线y=ax2＋c的形状由a决定，位置由c决定．
(2)二次函数y=ax2＋c的图象是一条抛物线，顶点坐标是(0，c)，对称轴是y轴．
当a>0时，图象的开口向上，有最低点(即顶点)，当x=0时，y最小值=c．在y轴左侧，y随x的增大而减小；在y轴右侧，y随x增大而增大．
当a<0时，图象的开口向下，有最高点(即顶点)，当x=0时，y最大值=c．在y轴左侧，y随x的增大而增大；在y轴右侧，y随x增大而减小．
(3)抛物线y=ax2＋c与y=ax2的关系．
抛物线y=ax2＋c与y=ax2形状相同，只有位置不同．抛物线y=ax2＋c可由抛物线y=ax2沿y轴向上或向下平行移动|c|个单位得到．当c>0时，向上平行移动，当c<0时，向下平行移动．
2、二次函数y=a(x－h)2的图象与性质
①抛物线y=a(x－h)2的对称轴为x=h，顶点为(h，0)．
②y=a(x－h)2的形状与y=ax2的图象的形状相同，只是位置不同，它们彼此可以通过平移而得到．
③把y=ax2的图象向左(或向右)平移|h|个单位，即得y=a(x－h)2的图象，由实践可知，当h＞0时，向右平移，当h＜0时，向左平移．
3、二次函数y=a(x－h)2＋k的图象与性质
一般地，抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2的形状相同，只是位置不同．抛物线y=a(x－h)2＋k有如下特点：
①a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下；
②对称轴是平行于y轴的直线x=h；
③顶点坐标是(h，k)．
二次函数y=a(x－h)2＋k的图象可由抛物线y=ax2向左(或向右)平移|h|个单位，再向上(或向下)平移|k|个单位而得到．
4、二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质
即可化为y=a(x－h)2＋k的形式，因此y=ax2＋bx＋c与y=a(x－h)2＋k的图象具有一致性，即y=ax2＋bx＋c的图象是一条抛物线，它的顶点坐标为，对称轴是直线．
当a＞0时，抛物线开口向上，有最低点(即顶点)，当时，，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．
当a＜0时，抛物线开口向下，有最高点(即顶点)，当时，．在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．
由于y=ax2＋bx＋c可化为的形式，所以抛物线y=ax2＋bx＋c可由抛物线y=ax2平移得到：
第一步：若时，把y=ax2的图象向右平移个单位；若时，把y=ax2的图象向左平移个单位；
第二步：若时，再把第一次平移后的图象向上平移个单位；若时，再把第一步平移后的图象向下平移个单位．
所以抛物线y=ax2＋bx＋c与抛物线y=ax2的形状相同，只是位置不同．
5、二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的画法
（1）先确定二次函数的对称轴，在对称轴的左右两侧取自变量x的值，通过列表、描点，用光滑曲线连接得到图象．
（2）通过二次函数的图象进行平移得到抛物线y=ax2＋bx＋c的图象．
6、抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)与系数a、b、c的关系
a、b、c的代数式
作用
字母的符号
图象的特征
a
1．决定抛物线的开口方向；
2．决定增减性
a＞0
开口向上
a＜0
开口向下
c
决定抛物线与y轴交点的位置，交点坐标为(0，c)
c＞0
交点在x轴上方
c=0
抛物线过原点
c＜0
交点在x轴下方
决定对称轴的位置，对称轴是
ab＞0
对称轴在y轴左侧
ab＜0
对称轴在y轴右侧
二、重难点知识讲解
1、二次函数的三种形式：
（1）一般式：y=ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，a≠0)；
（2）顶点式：y=a(x－h)2＋k，（h，k）为函数图象的顶点；
（3）交点式：y=a(x－x1)(x－x2)，(x1，0) ， (x2，0)为函数图象与x轴的交点.
2、图象的变换
二次函数的平移规律：任意抛物线y=ax2＋bx＋c都可转化为y=a（x－h）2＋k，便可以由y=ax2适当平移得到．
y=ax2
h＞0向右平移个单位
y=a(x－h)2
k＞0向上平移个单位长度
y=a(x－h)2＋k
h＜0向左平移个单位
k＜0向下平移个单位长度
3、根据已知条件正确求出二次函数的关系式
用待定系数法求函数解析式时，应当根据已知条件选择适当的二次函数的形式．如果知道函数图象与x轴的交点，那么选择交点式；如果知道函数图象的顶点，那么选择顶点式；如果知道函数图象上三个一般的点，那么选择一般式．
一次函数
I、定义与定义式： 一次函数
自变量x和因变量y有如下关系：
y=kx+b（k，b为常数，k≠0）
则称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。
II、一次函数的性质：
y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k
即 △y/△x=k
III、一次函数的图象及性质：
1． 作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图象——一条直线。因此，作一次函数的图象只需知道2点，并连成直线即可。
2． 性质：在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。
3． k，b与函数图象所在象限。
当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；
当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b＞0时，直线必通过一、二象限；当b＜0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图象。
这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。
IV、确定一次函数的表达式：
已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。
（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。
（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：
y1=kx1+b① 和 y2=kx2+b②。
（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。
（4）最后得到一次函数的表达式。
V、在y=kx+b中,两个坐标系必定经过(0,b)和(-k/b,0)两点
1）反比例函数的图象是双曲线，反比例函数图象的两个分支关于原点对称．
（2）当k>0时，反比例函数图象的两个分支分别在第一、三象限内，且在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，且在每个象限内，y随x的增大而增大．
注意：不能说成“当k＞0时，反比例函数y随x的增大而减小，当k＜0时，反比例函数y随x的增大而增大.”因为，当x由负数经过0变为正数时，上述说法不成立.
(3) 反比例函数解析式的确定：反比例函数的解析式y= (k≠0)中只有一个待定系数k，因而只要有一组x、y的对应值或函数图象上一点的坐标，代入函数解析式求得k的值，就可得到反比例函数解析式.
5．反比例函数解析式的确定
在反比例函数y= (k≠0)定义中，只有一个常数，所以求反比例函数的解析式只需确定一个待定系数k，反比例函数即可确定. 所以只要将图象上一点的坐标代入y= 中即可求出k值.
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具体函数具体分析 总共也就几大类 理解了 就能记住
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对数函数
对数函数的一般形式为 ，它实际上就是指数函数 的反函数。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。
右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：
可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。
（1）对数函数的定义域为大于0的实数集合。
（2）对数函数的值域为全部实数集合。
（3）函数总是通过（1，0）这点。
（4）a大于1时，为单调递增函数，并且上凸；a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。
（5）显然对数函数无界。
指数函数
指数函数的一般形式为 ，从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得
如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。
可以看到：
（1） 指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。
（2） 指数函数的值域为大于0的实数集合。
（3） 函数图形都是下凹的。
（4） a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。
（5） 可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
（6） 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。
（7） 函数总是通过（0，1）这点。
（8） 显然指数函数无界。
奇偶性
注图：（1）为奇函数（2）为偶函数
1．定义
一般地，对于函数f(x)
（1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。
（2）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。
（3）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。
（4）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。
说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言
②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇（或偶）函数。
（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论）
③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义
2．奇偶函数图像的特征：
定理 奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于y轴或轴对称图形。
f(x)为奇函数《＝＝》f(x)的图像关于原点对称
点（x,y）→（-x,-y）
奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。
偶函数 在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。
3. 奇偶函数运算
(1) . 两个偶函数相加所得的和为偶函数.
(2) . 两个奇函数相加所得的和为奇函数.
(3) . 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.
(4) . 两个偶函数相乘所得的积为偶函数.
(5) . 两个奇函数相乘所得的积为偶函数.
(6) . 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.
定义域
（高中函数定义）设A,B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),x属于集合A。其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域；
值域
名称定义
函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域,在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合
常用的求值域的方法
（1）化归法；（2）图象法（数形结合），
（3）函数单调性法，
（4）配方法，（5）换元法，（6）反函数法（逆求法），（7）判别式法，（8）复合函数法，（9）三角代换法，（10）基本不等式法等
关于函数值域误区
定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中，实行“定义域优先”的原则，无可置疑。然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄皮，何况它们二者随时处于互相转化之中（典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化）。如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难，实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函的理解，从而深化对函数本质的认识。
“范围”与“值域”相同吗？
“范围”与“值域”是我们在学习中经常遇到的两个概念，许多同学常常将它们混为一谈，实际上这是两个不同的概念。“值域”是所有函数值的集合（即集合中每一个元素都是这个函数的取值），而“范围”则只是满足某个条件的一些值所在的集合（即集合中的元素不一定都满足这个条件）。也就是说:“值域”是一个“范围”，而“范围”却不一定是“值域”。
对数函数的一般形式为 ，它实际上就是指数函数 的反函数。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。
右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：
可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。
（1）对数函数的定义域为大于0的实数集合。
（2）对数函数的值域为全部实数集合。
（3）函数总是通过（1，0）这点。
（4）a大于1时，为单调递增函数，并且上凸；a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。
（5）显然对数函数无界。
指数函数
指数函数的一般形式为 ，从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得
如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。
可以看到：
（1） 指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。
（2） 指数函数的值域为大于0的实数集合。
（3） 函数图形都是下凹的。
（4） a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。
（5） 可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
（6） 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。
（7） 函数总是通过（0，1）这点。
（8） 显然指数函数无界。
奇偶性
注图：（1）为奇函数（2）为偶函数
1．定义
一般地，对于函数f(x)
（1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。
（2）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。
（3）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。
（4）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。
说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言
②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇（或偶）函数。
（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论）
③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义
2．奇偶函数图像的特征：
定理 奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于y轴或轴对称图形。
f(x)为奇函数《＝＝》f(x)的图像关于原点对称
点（x,y）→（-x,-y）
奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。
偶函数 在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。
3. 奇偶函数运算
(1) . 两个偶函数相加所得的和为偶函数.
(2) . 两个奇函数相加所得的和为奇函数.
(3) . 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.
(4) . 两个偶函数相乘所得的积为偶函数.
(5) . 两个奇函数相乘所得的积为偶函数.
(6) . 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.
定义域
（高中函数定义）设A,B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),x属于集合A。其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域；
值域
名称定义
函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域,在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合
常用的求值域的方法
（1）化归法；（2）图象法（数形结合），
（3）函数单调性法，
（4）配方法，（5）换元法，（6）反函数法（逆求法），（7）判别式法，（8）复合函数法，（9）三角代换法，（10）基本不等式法等
关于函数值域误区
定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中，实行“定义域优先”的原则，无可置疑。然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄皮，何况它们二者随时处于互相转化之中（典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化）。如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难，实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函的理解，从而深化对函数本质的认识。
“范围”与“值域”相同吗？
“范围”与“值域”是我们在学习中经常遇到的两个概念，许多同学常常将它们混为一谈，实际上这是两个不同的概念。“值域”是所有函数值的集合（即集合中每一个元素都是这个函数的取值），而“范围”则只是满足某个条件的一些值所在的集合（即集合中的元素不一定都满足这个条件）。也就是说:“值域”是一个“范围”，而“范围”却不一定是“值域”。
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二次函数的图象和性质2010-11-20
14:341、二次函数y=ax2+c的图象与性质
(1)抛物线y=ax2+c的形状由a决定，位置由c决定.
(2)二次函数y=ax2+c的图象是一条抛物线，顶点坐标是(0，c)，对称轴是y轴.
当a>0时，图象的开口向上，有最低点(即顶点)，当x=0时，y最小值=c.在y轴左侧，y随x的增大而减小;在y轴右侧，y随x增大而增大.
当a<0时，图象的开口向下，有最高点(即顶点)，当x=0时，y最大值=c.在y轴左侧，y随x的增大而增大;在y轴右侧，y随x增大而减小.
(3)抛物线y=ax2+c与y=ax2的关系.
抛物线y=ax2+c与y=ax2形状相同，只有位置不同.抛物线y=ax2+c可由抛物线y=ax2沿y轴向上或向下平行移动|c|个单位得到.当c>0时，向上平行移动，当c<0时，向下平行移动.
2、二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
①抛物线y=a(x-h)2的对称轴为x=h，顶点为(h，0).
②y=a(x-h)2的形状与y=ax2的图象的形状相同，只是位置不同，它们彼此可以通过平移而得到.
③把y=ax2的图象向左(或向右)平移|h|个单位，即得y=a(x-h)2的图象，由实践可知，当h＞0时，向右平移，当h＜0时，向左平移.
3、二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的形状相同，只是位置不同.抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:
①a＞0时，开口向上;a＜0时，开口向下;
②对称轴是平行于y轴的直线x=h;
③顶点坐标是(h，k).
二次函数y=a(x-h)2+k的图象可由抛物线y=ax2向左(或向右)平移|h|个单位，再向上(或向下)平移|k|个单位而得到.
4、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
即可化为y=a(x-h)2+k的形式，因此y=ax2+bx+c与y=a(x-h)2+k的图象具有一致性，即y=ax2+bx+c的图象是一条抛物线，它的顶点坐标为，对称轴是直线.
当a＞0时，抛物线开口向上，有最低点(即顶点)，当时，，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小;在对称轴的右侧，y随x的增大而增大.
当a＜0时，抛物线开口向下，有最高点(即顶点)，当时，.在对称轴的左侧，y随x的增大而增大;在对称轴的右侧，y随x的增大而减小.
由于y=ax2+bx+c可化为的形式，所以抛物线y=ax2+bx+c可由抛物线y=ax2平移得到:
第一步:若时，把y=ax2的图象向右平移个单位;若时，把y=ax2的图象向左平移个单位;
第二步:若时，再把第一次平移后的图象向上平移个单位;若时，再把第一步平移后的图象向下平移个单位.
所以抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=ax2的形状相同，只是位置不同.
5、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的画法
(1)先确定二次函数的对称轴，在对称轴的左右两侧取自变量x的值，通过列表、描点，用光滑曲线连接得到图象.
(2)通过二次函数的图象进行平移得到抛物线y=ax2+bx+c的图象.
6、抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与系数a、b、c的关系
a、b、c的代数式
作用
字母的符号
图象的特征
a
1.决定抛物线的开口方向;
2.决定增减性
a＞0
开口向上
a＜0
开口向下
c
决定抛物线与y轴交点的位置，交点坐标为(0，c)
c＞0
交点在x轴上方
c=0
抛物线过原点
c＜0
交点在x轴下方
决定对称轴的位置，对称轴是
ab＞0
对称轴在y轴左侧
ab＜0
对称轴在y轴右侧
二、重难点知识讲解
1、二次函数的三种形式:
(1)一般式:y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0);
(2)顶点式:y=a(x-h)2+k，(h，k)为函数图象的顶点;
(3)交点式:y=a(x-x1)(x-x2)，(x1，0)
，
(x2，0)为函数图象与x轴的交点.
2、图象的变换
二次函数的平移规律:任意抛物线y=ax2+bx+c都可转化为y=a(x-h)2+k，便可以由y=ax2适当平移得到.
y=ax2
h＞0向右平移个单位
y=a(x-h)2
k＞0向上平移个单位长度
y=a(x-h)2+k
h＜0向左平移个单位
k＜0向下平移个单位长度
3、根据已知条件正确求出二次函数的关系式
用待定系数法求函数解析式时，应当根据已知条件选择适当的二次函数的形式.如果知道函数图象与x轴的交点，那么选择交点式;如果知道函数图象的顶点，那么选择顶点式;如果知道函数图象上三个一般的点，那么选择一般式.
一次函数
I、定义与定义式:
一次函数
自变量x和因变量y有如下关系:
y=kx+b(k，b为常数，k≠0)
则称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。
II、一次函数的性质:
y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k
即
△y/△x=k
III、一次函数的图象及性质:
1.
作法与图形:通过如下3个步骤(1)列表;(2)描点;(3)连线，可以作出一次函数的图象--一条直线。因此，作一次函数的图象只需知道2点，并连成直线即可。
2.
性质:在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式:y=kx+b。
3.
k，b与函数图象所在象限。
当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;
当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b＞0时，直线必通过一、二象限;当b＜0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图象。
这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限;当k＜0时，直线只通过二、四象限。
IV、确定一次函数的表达式:
已知点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的表达式。
(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。
(2)因为在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程:
y1=kx1+b①
和
y2=kx2+b②。
(3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。
(4)最后得到一次函数的表达式。
V、在y=kx+b中,两个坐标系必定经过(0,b)和(-k/b,0)两点
1)反比例函数的图象是双曲线，反比例函数图象的两个分支关于原点对称.
(2)当k>0时，反比例函数图象的两个分支分别在第一、三象限内，且在每个象限内，y随x的增大而减小;当k<0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，且在每个象限内，y随x的增大而增大.
注意:不能说成“当k＞0时，反比例函数y随x的增大而减小，当k＜0时，反比例函数y随x的增大而增大.”因为，当x由负数经过0变为正数时，上述说法不成立.
(3)
反比例函数解析式的确定:反比例函数的解析式y=
(k≠0)中只有一个待定系数k，因而只要有一组x、y的对应值或函数图象上一点的坐标，代入函数解析式求得k的值，就可得到反比例函数解析式.
5.反比例函数解析式的确定
在反比例函数y=
(k≠0)定义中，只有一个常数，所以求反比例函数的解析式只需确定一个待定系数k，反比例函数即可确定.
所以只要将图象上一点的坐标代入y=
中即可求出k值.
14:341、二次函数y=ax2+c的图象与性质
(1)抛物线y=ax2+c的形状由a决定，位置由c决定.
(2)二次函数y=ax2+c的图象是一条抛物线，顶点坐标是(0，c)，对称轴是y轴.
当a>0时，图象的开口向上，有最低点(即顶点)，当x=0时，y最小值=c.在y轴左侧，y随x的增大而减小;在y轴右侧，y随x增大而增大.
当a<0时，图象的开口向下，有最高点(即顶点)，当x=0时，y最大值=c.在y轴左侧，y随x的增大而增大;在y轴右侧，y随x增大而减小.
(3)抛物线y=ax2+c与y=ax2的关系.
抛物线y=ax2+c与y=ax2形状相同，只有位置不同.抛物线y=ax2+c可由抛物线y=ax2沿y轴向上或向下平行移动|c|个单位得到.当c>0时，向上平行移动，当c<0时，向下平行移动.
2、二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
①抛物线y=a(x-h)2的对称轴为x=h，顶点为(h，0).
②y=a(x-h)2的形状与y=ax2的图象的形状相同，只是位置不同，它们彼此可以通过平移而得到.
③把y=ax2的图象向左(或向右)平移|h|个单位，即得y=a(x-h)2的图象，由实践可知，当h＞0时，向右平移，当h＜0时，向左平移.
3、二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的形状相同，只是位置不同.抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:
①a＞0时，开口向上;a＜0时，开口向下;
②对称轴是平行于y轴的直线x=h;
③顶点坐标是(h，k).
二次函数y=a(x-h)2+k的图象可由抛物线y=ax2向左(或向右)平移|h|个单位，再向上(或向下)平移|k|个单位而得到.
4、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
即可化为y=a(x-h)2+k的形式，因此y=ax2+bx+c与y=a(x-h)2+k的图象具有一致性，即y=ax2+bx+c的图象是一条抛物线，它的顶点坐标为，对称轴是直线.
当a＞0时，抛物线开口向上，有最低点(即顶点)，当时，，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小;在对称轴的右侧，y随x的增大而增大.
当a＜0时，抛物线开口向下，有最高点(即顶点)，当时，.在对称轴的左侧，y随x的增大而增大;在对称轴的右侧，y随x的增大而减小.
由于y=ax2+bx+c可化为的形式，所以抛物线y=ax2+bx+c可由抛物线y=ax2平移得到:
第一步:若时，把y=ax2的图象向右平移个单位;若时，把y=ax2的图象向左平移个单位;
第二步:若时，再把第一次平移后的图象向上平移个单位;若时，再把第一步平移后的图象向下平移个单位.
所以抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=ax2的形状相同，只是位置不同.
5、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的画法
(1)先确定二次函数的对称轴，在对称轴的左右两侧取自变量x的值，通过列表、描点，用光滑曲线连接得到图象.
(2)通过二次函数的图象进行平移得到抛物线y=ax2+bx+c的图象.
6、抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与系数a、b、c的关系
a、b、c的代数式
作用
字母的符号
图象的特征
a
1.决定抛物线的开口方向;
2.决定增减性
a＞0
开口向上
a＜0
开口向下
c
决定抛物线与y轴交点的位置，交点坐标为(0，c)
c＞0
交点在x轴上方
c=0
抛物线过原点
c＜0
交点在x轴下方
决定对称轴的位置，对称轴是
ab＞0
对称轴在y轴左侧
ab＜0
对称轴在y轴右侧
二、重难点知识讲解
1、二次函数的三种形式:
(1)一般式:y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0);
(2)顶点式:y=a(x-h)2+k，(h，k)为函数图象的顶点;
(3)交点式:y=a(x-x1)(x-x2)，(x1，0)
，
(x2，0)为函数图象与x轴的交点.
2、图象的变换
二次函数的平移规律:任意抛物线y=ax2+bx+c都可转化为y=a(x-h)2+k，便可以由y=ax2适当平移得到.
y=ax2
h＞0向右平移个单位
y=a(x-h)2
k＞0向上平移个单位长度
y=a(x-h)2+k
h＜0向左平移个单位
k＜0向下平移个单位长度
3、根据已知条件正确求出二次函数的关系式
用待定系数法求函数解析式时，应当根据已知条件选择适当的二次函数的形式.如果知道函数图象与x轴的交点，那么选择交点式;如果知道函数图象的顶点，那么选择顶点式;如果知道函数图象上三个一般的点，那么选择一般式.
一次函数
I、定义与定义式:
一次函数
自变量x和因变量y有如下关系:
y=kx+b(k，b为常数，k≠0)
则称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。
II、一次函数的性质:
y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k
即
△y/△x=k
III、一次函数的图象及性质:
1.
作法与图形:通过如下3个步骤(1)列表;(2)描点;(3)连线，可以作出一次函数的图象--一条直线。因此，作一次函数的图象只需知道2点，并连成直线即可。
2.
性质:在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式:y=kx+b。
3.
k，b与函数图象所在象限。
当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;
当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b＞0时，直线必通过一、二象限;当b＜0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图象。
这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限;当k＜0时，直线只通过二、四象限。
IV、确定一次函数的表达式:
已知点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的表达式。
(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。
(2)因为在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程:
y1=kx1+b①
和
y2=kx2+b②。
(3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。
(4)最后得到一次函数的表达式。
V、在y=kx+b中,两个坐标系必定经过(0,b)和(-k/b,0)两点
1)反比例函数的图象是双曲线，反比例函数图象的两个分支关于原点对称.
(2)当k>0时，反比例函数图象的两个分支分别在第一、三象限内，且在每个象限内，y随x的增大而减小;当k<0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，且在每个象限内，y随x的增大而增大.
注意:不能说成“当k＞0时，反比例函数y随x的增大而减小，当k＜0时，反比例函数y随x的增大而增大.”因为，当x由负数经过0变为正数时，上述说法不成立.
(3)
反比例函数解析式的确定:反比例函数的解析式y=
(k≠0)中只有一个待定系数k，因而只要有一组x、y的对应值或函数图象上一点的坐标，代入函数解析式求得k的值，就可得到反比例函数解析式.
5.反比例函数解析式的确定
在反比例函数y=
(k≠0)定义中，只有一个常数，所以求反比例函数的解析式只需确定一个待定系数k，反比例函数即可确定.
所以只要将图象上一点的坐标代入y=
中即可求出k值.
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