Question

高中数学，急急急急啊 已知正数数列{an}的前n项和为Sn，且对于任意正整数n满足2根号Sn=an+1 求an通项

Answer 1

由2根号Sn=an+1得
Sn=1/4(an+1)²
S(n-1)=1/4(a(n-1)+1)²

相减：4an=an² -a(n-1)?+2(an-a(n-1))

an² -a(n-1)² -2(an+a(n-1))=0
an² -a(n-1)² =(an-a(n-1))(an+a(n-1))=2(an+a(n-1))

那么an-a(n-1)=2 {an}是等差数列

4a1=(a1+1)² 易得a1=1

an=2n-1

追问

4an=an² -a(n-1)?+2(an-a(n-1))这一不下来为什么有
an² -a(n-1)² -2(an+a(n-1))=0

追答

4an=an² -a(n-1)²+2(an-a(n-1))
an² -a(n-1)²=4an-2(an-a(n-1)
an² -a(n-1)²=4an-2an+2a(n-1)
an² -a(n-1)²=2an+2a(n-1)
就得到了

Answer 2

2√Sn=an+1
则有，4Sn=(an+1)²
4a(n+1)=4[S(n+1)-Sn]=[a(n+1)+1]²-(an+1)²
=[a(n+1)]²+2a(n+1)-(an)²-2an
即：2a(n+1)+2an=[a(n+1)]²-(an)²=[a(n+1)+an][a(n+1)-an]
有题目中有数列{an}是正整数数列
所以，a(n+1)-an≥0
若a(n+1)-an=0，则有：2[a(n+1)+an]=0，即an=a(n+1)=0
与题目中是正整数数列相矛盾，故此种情况舍去
若a(n+1)-an>0
则有，2=a(n+1)-an
当n=1时，a1=s1
即，4a1=(a1+1)²，化简的：(a1-1)²=0
故，a1=1
综上所述：{an}是首相为1，公差为2的等差数列
则有，an=2n-1

Answer 3

先对原式令n=1,得到A1=1.再对原式左右同时平方得4Sn=(An+1)的2方,由此还有个脚标为n-1时的又是一个式子.两式相减,再化简得到An和An-1的式子,化简后为An-An-1=2.此为等差数列,初项为A1=1,差值为2,所以An=2n-1

结果的话,你自己再算算,思路就是这样.