Question

如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上的点

⑴若AD=BE=CF，问三角形DEF是等边三角形吗？试证明你的结论；
⑵若△DEF是等边三角形，问AD=BE=CF成立吗？试证明你的结论。

Answer 1

（1）
证明：
∵⊿ABC是等边三角形
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60º
∵AD=BE=CF
∴AB-AD=BC-BE=AC-CF
即BD=CE=AF
在⊿ADF和⊿BDE中
AD=BE，∠A=∠B，AF=BD
∴⊿ADF≌⊿BED（SAS）
∴DF=DE
同理：
⊿ADF≌⊿CFE
∴DF=EF
∴DF=EF=DE
∴⊿DEF是等边三角形
（2）
∵⊿DEF是等边三角形
∴DE=EF=DF，∠DEF=∠EFD=∠EDF=60º
在⊿BDE和⊿CEF中
∵∠DEB+∠CEF=180º-∠DEF=120º
∠DEB+∠BDE=180º-∠B=120º
∴∠BDE=∠CEF
又∵∠B=∠C，DE=EF
∴⊿BDE≌⊿CEF（AAS）
∴BE =CF
同理：
⊿ADF≌⊿BED
∴AD=BE
∴AD=BE=CF

Answer 2

如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上的点
【1】∵AD=BE=CF
∴AB-AD=BC-BE=AC-CF
即DB=EC=FA
又∵∠A=∠B=∠C=60°
∴△ADF≌△BED≌△CFE
∴DF=ED=FE[边角边]
∴△DEF是等边三角形
【2】若△DEF是等边三角形，AD=BE=CF成立，理由如下：
∵△DEF是等边三角形
∴DF=ED=FE，∠FDE=∠DEF=∠EFD=60°
又∵∠ADF+∠BDE=120°，∠BDE+∠DEB=120°
∴∠ADF=∠DEB
同理可得
∠ADF=∠EBD=CFE
又∵∠A=∠B=∠C=60°
∴△ADF≌△BED≌△CFE[角角边]
∴AD=BE=CF
如有不懂请追问，望采纳

Answer 3

证明如下：
因：角ADE=角ADF+角EDF
角ADE=角B+角BED
角B=角EDF
所以：角ADF=角BED
又因：△ABC、△DEF是等边三角形，角A=角B=60°
所以角AFD=角BDF，DF=DE
所以三角形ADF全等三角形BED
所以AD=BE
同理，BE=CF
AD=BE=CF

Answer 4

解：（1）△DEF是等边三角形．
证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C，AB=BC=CA，
又∵AD=BE=CF，
∴DB=EC=FA，
∴△ADF≌△BED≌△CFE，
∴DF=DE=EF，即△DEF是等边三角形；

（2）AD=BE=CF成立．
证明如下：
如图，∵△DEF是等边三角形，
∴DE=EF=FD，∠FDE=∠DEF=∠EFD=60°，
∴∠1+∠2=120°，
又∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∴∠2+∠3=120°，
∴∠1=∠3，
同理∠3=∠4，
∴△ADF≌△BED≌△CFE，
∴AD=BE=CF．

Answer 5

（1）
证明：
∵⊿ABC是等边三角形
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60º
∵AD=BE=CF
∴AB-AD=BC-BE=AC-CF
即BD=CE=AF
在⊿ADF和⊿BDE中
AD=BE，∠A=∠B，AF=BD
∴⊿ADF≌⊿BED（SAS）
∴DF=DE
同理：
⊿ADF≌⊿CFE
∴DF=EF
∴DF=EF=DE
∴⊿DEF是等边三角形
（2）
∵⊿DEF是等边三角形
∴DE=EF=DF，∠DEF=∠EFD=∠EDF=60º
在⊿BDE和⊿CEF中
∵∠DEB+∠CEF=180º-∠DEF=120º
∠DEB+∠BDE=180º-∠B=120º
∴∠BDE=∠CEF
又∵∠B=∠C，DE=EF
∴⊿BDE≌⊿CEF（AAS）
∴BE =CF
同理：
⊿ADF≌⊿BED
∴AD=BE
∴AD=BE=CF