Question

如图：等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点。若AE=2，EM+CM的最小值为__

如图：等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点。若AE=2，EM+CM的最小值为_____
注意、边长是4，不是5！
应该是EM⊥AD时，EM+CM才会最小

Answer 1

等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点。若AE=2，EM+CM的最小值为_____
解：∵△ABC是等边三角形，又AD⊥AC，D是BC中点，∴点B与点C关于AD对称，连接BE与
AD的交点就是使EM+CM具有最小值的那个M点，此时EM+CM=EM+BM=BE；∵E是AC的中点，△ABC是等边三角形，∴BE⊥AC，∴BE= √(AC²-EC²)=√(16-4)=√12=2√3，即EM+CM的最小
值是2√3.
下面再证明为什么2√3是其最小值。在AD上任取异于上述M点的M₁，连接EM₁，BM₁，CM₁
由于CM₁=BM₁，故EM₁+CM₁=EM₁+BM₁>BE，这是因为BEM₁构成一个三角形，而三
角形两边之和必大于第三边，故有EM₁+BM₁>BE=BM+EM.

Answer 2

最大值为EM、EC两线重合
即EM+EC=2+4=6，最大值
当EM垂直于AD时
EM+EC=1+√7，最小值

追问

是EM+CM、不是EM+EC、没有看到图吗？

追答

没有图啊。
EC是笔误
我确实是按照MC来算的

Answer 3

因为等边△ABC
又AD垂直于BC
所以BM=CM
两点间直线最短
BM+EM=EM+CM
E是AC中点
又等边△ABC
BE垂直于AC且BE=2根号下3

Answer 4

解：连接CE，与AD交于点M．则CE就是BM+ME的最小值．
取BE中点F，连接DF．
∵等边△ABC的边长为6，AE=2，
∴BE=AB-AE=6-2=4，
∴BF=FE=AE=2，
又∵AD是BC边上的中线，
∴DF是△BCE的中位线，
∴CE=2DF，CE∥DF，
又∵E为AF的中点，
∴M为AD的中点，
∴ME是△ADF的中位线，
∴DF=2ME，
∴CE=2DF=4ME，
∴CM=34CE．
在直角△CDM中，CD=12BC=3，DM=12AD，
CM=CD2+MD2=3
72，
CE=43×3
72=27，
∵BM+ME=CE，
∴BM+ME的最小值为2根号7（根号和分数线打不出来）．

Answer 5

2又根号3
当M点为三角形中心EM+CM的值最小