Question

已知等差数列｛an｝满足：a3=7，a5+a7=26.｛an｝的前n项和为Sn。 求令bn=1/(an)^2-1，求｛bn｝及前n项和Tn

Answer 1

a3=7
a5+a7=2a6=26
a6=13
a6-a3=6=5d-2d=3d, d=2
a1+2d=7=a1+4 a1=3
an=3+2(n-1)=2n+1
bn=1/[an^2-1]=1/[4n(n+1)]=(1/4)(1/n-1/(n+1))
b1=(1/4)(1-1/2)=1/8
Tn=(1/4)(1-1/(n+1))

Answer 2

解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3=7，a5+a7=26，
∴有
a1+2d=72a1+10d=26
，
解得a1=3，d=2，
∴an=3+2（n-1）=2n+1；
Sn=3n+
n(n-1)
2
×2=n2+2n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=2n+1，
∴bn=
1
an2-1
=
1
(2n+1)2-1
=
1
4
•
1
n(n+1)
=
1
4
•(
1
n
-
1
n+1
)，
∴Tn=
1
4
•(1-
1
2
+
1
2
-
1
3
++
1
n
-
1
n+1
)=
1
4
•(1-
1
n+1
)=
n
4(n+1)
，
即数列{bn}的前n项和Tn=
n
4(n+1) ．