Question

什么叫f(x)=lnx 按（x-2)的幂展开的带有佩亚诺型余数的n阶泰勒公式

f(x)=lnx 按（x-2)的幂展开 是什么意思？？ 按照ln（x-2）来计算？？

Answer 1

f(x)=lnx 展成 x0 = 2 处的Taylor公式（Peano余项）。
利用 ln(1+x) = x - x²/2 + x³/3 + ...... + (-1)^(n-1) x^n /n + o(x^n)
f(x) = lnx = ln [ 2 + (x-2) ] = ln2 + ln [ 1 + (x-2)/2 ]
= ln2 + (x-2)/2 - (x-2)²/8 + (x-2)³/(3 * 2³) + ...... + (-1)^(n-1) (x-2)^n / (n * 2^n) + o( (x-2)^n )

Answer 2

就是按照泰勒中值定理的公式，令f(x)=lnx ，x0为1直接代进去计算，然后将最后一项抽象成
（x-x0)^n的更高阶的无穷小，展开就可以了。