Question

13.求微分方程 y"+2y`-3y=4e^x 的通解.-|||-答案:方程的通解为 y=C1e^

Answer 1

方程的通解为 y = C₁e^(3x) + C₂e^(-x) - e^x，其中 C₁ 和 C₂ 是任意常数。
要求解这个微分方程，可以使用特征方程的方法。首先写出特征方程：
r^2 + 2r - 3 = 0
将特征方程进行因式分解得到：
(r + 3)(r - 1) = 0
解特征方程可得两个根：r₁ = -3 和 r₂ = 1。
由于根为实数且不相等，所以通解可以表示为：
y = C₁e^(r₁x) + C₂e^(r₂x)
将 r₁ = -3 和 r₂ = 1 代入，得到通解为：
y = C₁e^(-3x) + C₂e^x
然后考虑特解形式为 y = Ae^x，代入原方程得到：
Ae^x + 2Ae^x - 3Ae^x = 4e^x
化简得到 -Ae^x = 4e^x
解得 A = -4，将其代入特解中得到特解为 -4e^x。
因此，微分方程的通解为 y = C₁e^(-3x) + C₂e^x - 4e^x，其中 C₁ 和 C₂ 是任意常数。