Question

怎么判断一个级数的敛散性？

Answer 1

一、适用于正项级数的判别法

以下常值级数(数项级数)敛散性的判别法适用于正项级数，也适用于全部项都小于0的级数，只要提出一个负号即转换为正项级数，而级数的项乘以负1，级数的敛散性不发生变化. 另外，由于0不对级数的敛散性与和产生影响，因此，一般正项级数仅仅考虑大于0的项.

1、比较判别法

用比较判别法判定级数的敛散性需要有比较收敛或发散的级数，因此，对于常见级数，尤其是之前列出的几何级数、调和级数、p-级数以及和为e的阶乘级数的敛散性要记牢.

比较判别法有不等式形式和极限形式，具体结论参见下面列出的课件.

【注】一般依据通项结构寻找比较级数，比如通项中包含有n次方项，考虑几何级数比较；包好有n的幂级数结构或者n的有理式结构考虑p-级数（一般p值的选取为分母的最高次幂减去分子的最高次幂），有阶乘项可以考虑e的阶乘级数比较.

 

2、比值、根值判别法

比值、根值判别法只与级数本身的通项有关！当通项中包含有阶乘项一般考虑比值判别法，包含有n次方项考虑根值判别法，具体结论参见下面列出的课件.

【注1】当两种方法求出的极限都存在时，则极限值相等；当比值判别法极限不存在时，可以考虑根值判别法. 并且有比值法极限存在，则根值法极限一定存在并且相等；但根值法极限存在，比值法极限不一定存在！

【注2】特别注意：极限值等于1时，敛散性不确定！

 

二、变号级数敛散性的判定

1、交错级数

交错级数即正负项交替出现的级数，其收敛性判定首选方法为莱布尼兹判别法，即不包含符号的通项单调递减趋于0，则级数收敛.

2、一般变号级数

一般级数项加上绝对值后构成的绝对值级数收敛，则原级数收敛，并且称原级数绝对收敛，即绝对收敛一定收敛；绝对值级数发散，但原级数收敛，则称原级数条件收敛。

【注1】如果用比值、根值判别法直接判断一个级数对应的绝对值级数发散，则原级数一定发散，因为一般项不趋于0.

【注2】绝对收敛的级数符合加法的交换律和乘法的分配律，即绝对收敛的级数可以任意交换项相加其敛散性与和值不变，两个绝对收敛的级数相乘构成的级数仍然收敛，并且和就为两个级数的和的乘积.

【注3】条件收敛的级数可以通过调整级数的项的前后次序收敛到任意指定的数. 即条件收敛的级数不符合加法交换律. 

【注4】数值级数收敛性的判定给出了极限为零数列的一种证明与计算方法，即将数列视为级数的通项，如果能够判定级数收敛，则数列收敛并且极限值为0.