Question

在三角开ABC是，∠B=60°，AD、CE是三角形ABC的角平分线，且相交于点O，求证：AC=AE+CD

在三角开ABC是，∠B=60°，AD、CE是三角形ABC的角平分线，且相交于点O，求证：AC=AE+CD

Answer 1

证明：由AC上取F点，使得AF=AE，再连接OF，
∵ AO=AO, ∠OAE=∠OAF
∴ △AEO≌△AFO （ SAS ），
∴ ∠AOE=∠AOF；
∵ AD、CE分别为∠BAC、∠ACB的角平分线，
∴ ∠ECA+∠DAC= 1/2（∠ACB+∠BAC）=1/2（180°-∠B）=1/2（180°-60°）=60°
则 ∠AOC=180°-（∠ECA+∠DAC）=180°-60°=120°；
∴ ∠AOC=∠DOE=120°，
∠AOE=∠COD= ∠ECA+∠DAC（ 三角形外角=不相邻的两个内对角和）
∴ ∠AOF=60°
∴ ∠COF=60°，
∴ ∠COD=∠COF，
又 ∠FCO=∠DCO，CO=CO，
∴ △FOC≌△DOC （ASA），
∴ DC=FC，
由 AC=AF+FC，
∴ AC=AE+CD
见下图：