Question

已知抛物线y=ax^2+bx-3与x轴交于A,B两点，与Y轴交于C点,经过A,B,C三点的圆的圆心M(1,m)恰好在此抛物线的对

已知抛物线y=ax^2+bx-3与x轴交于A,B两点，与Y轴交于C点,经过A,B,C三点的圆的圆心M(1,m)恰好在此抛物线的对称轴上,圆M的半径为根号5.设圆M与Y轴交于D,抛物线的顶点为E.
(1)求m的值及抛物线的解析式.
(2)设角DBC=阿尔法,角CBE=北他,求sin(阿尔法-北他)的值.
(3)探究坐标轴上是否存在点P,使得以P,A,C为顶点的三角形与三角形BCE相似?若存在,请指出点P的位置并直接写出P的坐标,若不存在,请说明理由.

Answer 1

（1）先得出圆公式是：（x-1）＾2＋（y－m）＾2＝5
抛物线过定点（0，－3）即为C点，圆M过点C，带入得m＝－1或－5，经讨论，得出
m＝－1，而圆公式即为（x-1）＾2＋（y－m）＾2＝5，圆又过X轴上得A/B两点，则带入得出A(3,0)　B(-1,0)带入抛物线公式得出a＝1，b＝－2，可得出抛物线的公式．
（2）由余弦定理
△ABC中,AB对边为c,BC对边为a,AC对边为b ，则：
a^2=b^2+c^2-2bccosA
b^2=a^2+c^2-2accosB
c^2=a^2+b^2-2abcosC
可得所求角的余弦跟正弦，然后根据sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA公式，就可以求出问题2

Answer 2

1）由题意可知C（0，－3）， ，

∴ 抛物线的解析式为y = ax2－2ax－3（a＞0），

过M作MN⊥y轴于N，连结CM，则MN = 1， ，

∴ CN = 2，于是m =－1．

同理可求得B（3，0），

∴ a×32－2－2a×3－3 = 0，得 a = 1，

∴ 抛物线的解析式为y = x2－2x－3． 

（2）由（1）得 A（－1，0），E（1，－4），D（0，1）．

∴ 在Rt△BCE中， ， ，

∴  ， ，∴  ，即  ，

∴ Rt△BOD∽Rt△BCE，得 ∠CBE =∠OBD =，

因此 sin（－）= sin（∠DBC－∠OBD）= sin∠OBC = ．

（3）显然 Rt△COA∽Rt△BCE，此时点P1（0，0）．

过A作AP2⊥AC交y正半轴于P2，由Rt△CAP2 ∽Rt△BCE，得 ．

过C作CP3⊥AC交x正半轴于P3，由Rt△P3CA∽Rt△BCE，得P3（9，0）．

故在坐标轴上存在三个点P1（0，0），P2（0，1∕3），P3（9，0），使得以P、A、C为顶点的三角形与BCE相似．