Question

高一数学题 急急急

已知函数f(x)=|1/x-1| 若存在非零实数a, b(a<b),使得当x∈［a,b］时，函数的值域为［ma,mb］,求非零实数m的实数范围。 要详细过程和分类讨论

Answer 1

已知函数f(x)=|1/x-1| 若存在非零实数a, b(a<b),使得当x∈［a,b］时，函数的值域为［ma,mb］,求非零实数m的实数范围。
解:f(x)=|1/x-1|=|(1-x)/x|
当x<0时，f(x)=-(1-x)/x=(x-1)/x=1-1/x；x→-∞limf(x)=x→-∞lim(1-1/x)=1；x→0-limf(x)=+∞；
故在区间（-∞，0)内f(x)是增函数；1≦f(x)<+∞；
当0<x≦1时，f(x)=1/x-1=(1-x)/x；x→0+limf(x)=x→0+lim[(1-x)/x]=+∞；x→1limf(x)=0；
故在区间(0，1]内f(x)是减函数；0≦f(x)<+∞；
当x≧1时，f(x)=-(1-x)/x=1-1/x；x→1limf(x)=0；x→+∞limf(x)=1；0≦f(x)≦1；
故在区间[1，+∞)内f(x)是增函数。
∵a<b，ma<mb，∴区间[a，b]必需在（-∞，0)或[1，+∞)；
当[a，b]⊆(-∞，0)时，有m≧1；当[a，b]⊆[1，+∞)时，0<m≦1.