Question

柯西积分公式

Answer 1

柯西积分公式如下：

柯西积分公式是证明一系列解析函数重要性质的工具，首先是证明了圆盘上的解析函数一定可展为幂级数。

从而证明了A.-L.柯西与K.魏尔斯特拉斯关于解析函数两个定义的等价性，其次证明了解析函数是无限次可微的，从而其实部与虚部也是无限次可微的调和函数。

柯西积分定理

柯西积分定理（或称柯西－古萨定理），是一个关于复平面上全纯函数的路径积分的重要定理。

柯西积分定理说明，如果从一点到另一点有两个不同的路径，而函数在两个路径之间处处是全纯的，则函数的两个路径积分是相等的。

另一个等价的说法是，单连通闭合区域上的全纯函数沿着任何可求长闭合曲线的积分是0。

柯西积分公式就是柯西中值定理。如果函数f(x)及F(x)满足：在闭区间[a，b]上连续；在开区间(a，b)内可导；对任一x∈(a，b)，F'(x)≠0，那么在(a，b)内至少有一点ζ，使等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ζ)/F'(ζ)成立。

设C是一条简单闭曲线，函数f（z）在以C为边界的有界区域D内解析，在闭区域D上连续，那么有：f(z)对曲线的闭合积分值为零。注：f(z）为复函数

柯西积分公式对于无界区域也成立:如果无界区域D(包含∞在内，D的边界是有限条简单闭曲线C，函数在内除了点∞外是解析的。其中C的方向取负方向ζ是一个记号，仅为了与z区分。

柯西积分公式说明:如果一个函数在简单闭合曲线C的内部解析，在C上连续则函数在C内部的值完全可由C上的值而定。

柯西积分公式是一把钥匙，他开启了许多方法与定理；他刻画了解析函数的又一种定义；人们对它的研究极具意义让解析函数论能够单独脱离于实函数。

通过柯西积分公式就可以把解析函数f(z)在简单闭曲线C的内部任意一点处的值由边界C上的值表示。这是解析函数的又一特征。

柯西积分公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法，而且给出了解析函数的一个积分表达式，从而是研究解析函数的有力工具。