Question

把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．

把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．
1.找出图中全等三角形（不证明）
2.△DEF是什么三角形，并证明。
3.连接BE，判断四边形ABCD是什么特殊四边形，BD与DF有什么关系？并证明

Answer 1

1、图中.△DEF与△BEF全等
2、△DEF是等腰三角形
证明：
矩形ABCD按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF。
则点B、D对称于EF，BF轴对称于DF，BF＝DF，∠BFE＝∠DFE
∵ABCD为矩形，
∴AD∥BC
∴∠BFE＝∠DEF
∴∠DFE＝∠DEF
∴△DEF是等腰三角形，DE＝DF
3、四边形ABCD是等边棱形，BD²＝2DF*BC
证明：
∵点B、D对称于EF
∴△DEF与△BEF全等
∵△DEF是等腰三角形，DE＝DF
∴△BEF是等腰三角形，BE＝BF
且BE＝BF＝DE＝DF
∴四边形ABCD是等边棱形
设BD与EF相交于O
则△BEO相似于△BDC，且BO＝OD＝BD/2
∴BF/BO＝BD/BC
∵BF＝DF
∴DF/（BD/2）＝BD/BC
∴BD²＝2DF*BC

Answer 2

1.⊿A'DE≌⊿CDF.
2.⊿DEF是等腰三角形.
证明:AD平行BC,则∠DEF=∠BFE;
又∠BFE=∠DFE.
所以,∠DEF=∠FDE,DE=DF.故△DEF是等腰三角形.
3.估计表达有误,若连接BE,则四边形BEDF为菱形.
证明:DE=DF(已证);同理可证BE=BF.
又BF=DF.故BE=DE=DF=BF,四边形BEDF为菱形.
BD与EF互相垂直平分.