Question

17.在 ABC 中, a=2 , c=5, sinB=1/6, 求 ABC 的面积S

Answer 1

首先，我们可以利用正弦定理求出边 AC 的长度：
sin A / a = sin C / c
sin A / 2 = sin 5 / c
c = sin 5 * 2 / sin A
我们还可以利用余弦定理求出边 AB 和 BC 的长度：
c² = a² + b² - 2ab cos C
b² = a² + c² - 2ac cos B
代入已知条件，可以得到：
b² = 2² + (sin 5 * 2 / sin A)² - 2*2*(sin 5 * 2 / sin A)cos B
b² = 4 + 4 sin² 5 /sin² A - 4 (sin 5 * cos B) / sin A
由于 sin B = 1/6，因此 cos B = √(1 - sin² B) = √(35/36)
代入可得：
b² = 4 + 4 sin² 5 /sin² A - 4 (sin 5 * √(35/36)) / sin A
因为 s = 1/2ab sin C，所以最后我们可以利用海伦公式计算三角形 ABC 的面积：
s = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]
其中，s = (a+b+c)/2
将 a=2，c=5，b带入计算得：
s = √[9*(9-2)*(9-4-sin² 5/sin² A)*(9-5+sin² 5/sin² A)]
最终得到三角形 ABC 的面积 s 。