Question

锐角三角形ABC中，BC=6，三角形ABC的面积等于12，两动点M、N分别在边AB、AC上滑动

锐角三角形ABC中，BC=6，三角形ABC的面积等于12，两动点M、N分别在边AB、AC上滑动，且MN平行于BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为X，正方形MPQN与三角形ABC公共部分的面积为Y（Y<0），当X等于多少时，公共部分面积Y最大，Y最大值等于多少？
请写出推理过程！

Answer 1

过N作BC垂线交BC于D。 过A作BC垂线交MN于E，交BC于F。 过M作BC垂线交BC于G。
先算出三角形ABC高AF=4
设AE为a，设ND为z。
公共部分面积为：
y=x·z (1)
三角形AMN与三角形ABC相似可列出方程：
a/4=x/6 (2)
由于MN平行BC可列出方程：
4-a=z (3)
整理1,2,3，方程得
y=x(4-2/3x) 整理得
y=-2/3(x-3)2+6
当x=3时面积最大为6

Answer 2

解：（1）∵S△ABC=12，
∴ 1/2BC•AD=12，又BC=6，
∴AD=4；
（2）设AD与MN相交于点H，
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴ AH/AD=MN/BC，
即 4-x4=x6，
解得，x= 12/5，
∴当x= 12/5时正方形MPQN的边P恰好落在BC边上；

（3）设MP、NQ分别与BC相交于点E、F，
设HD=a，则AH=4-a，
由 AH/AD=MN/BC，
得 4-a/4=x/6，
解得，a= -2/3x+4，
∵矩形MEFN的面积=MN×HD，
∴y=x（ -2/3x+4）= -2/3x2+4x（0＜x≤6）．

Answer 3

解：（1）∵S△ABC=12，
∴1 2 BC•AD=12，又BC=6，
∴AD=4；
（2）设AD与MN相交于点H，
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴AH AD =MN BC ，
即4-x 4 =x 6 ，
解得，x=2.4，
∴当x=2.4 时正方形MPQN的边P恰好落在BC边上；
（3）设MP、NQ分别与BC相交于点E、F，
设HD=a，则AH=4-a，
由AH AD =MN BC ，
得4-a 4 =x 6 ，
解得，a=-2 3 x+4，
∵矩形MEFN的面积=MN×HD，
∴y=x（-2 3 x+4）=-2 3 x2+4x（2.4＜x≤6）

Answer 4

这是2010黄冈中考