Question

如图,在Rt三角形abc中,角C=90度,以AC为直径作圆O,交AB于D,过点O作OE//AB,交BC于E,求证

（2）若圆O的半径为3，ED=4,设EO的延长线交圆O于F，连接DF、AF，求三角形ADF的面积（明天上午就要，从网上找的一个图，没有F点，详细过程）

Answer 1

（1）首先连接OD，由OE∥AB，根据平行线与等腰三角形的性质，易证得△COE≌△DOE，即可得∠ODE=∠OCE=90°，则可证得ED为⊙O的切线；
（2）连接CD，根据直径所对的圆周角是直角，即可得∠CDA=90°，利用勾股定理即可求得OE的长，又由OE∥AB，证得△COE∽△CAB，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得AB的长，然后利用三角函数的知识，求得CD与AD的长，然后利用S△ADF=S梯形ABEF-S梯形DBEF求得答案．
解：（1）证明：连接OD，
∵OE∥AB，
∴∠COE=∠CAD，∠EOD=∠ODA，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠COE=∠DOE，
在△COE和△DOE中，
{OC=OD ∠COE=∠DOE DE=OE，
∴△COE≌△DOE（SAS），
∴∠ODE=∠OCE=90°，
∴ED⊥OD，
∴ED是圆O的切线；

（2）连接CD，交BF于M，
在Rt△ODE中，
∵OD= 32，DE=2，
∴OE= OD2+DE2= (32)2+22= 52，
∵DE∥AB，
∴△COE∽△CAB，
∴ OCAC= OEAB，
∴AB=5，
∵AC是直径，
∴∠ADC=90°，
∴cos∠BAC= ACAB= ADAC= 35，
∴AD= 95，
∴CD= AC2-AD2= 125，
∵EF∥AB，
∴ CMDM=OCOA，
∴CM=DM= 12CD= 65，
∴EF=OE+OF=4，BD=AB-AD=5- 95= 165，
∴S△ADF=S梯形ABEF-S梯形DBEF= 12（AB+EF）•DM- 12（BD+EF）•DM= 12×（5+4）× 65- 12×（ 165+4）× 65= 2725．
∴△ADF的面积为 2725．