Question

如图三角形ABC中,AB=AC,BD为∠B的平分线。三角形ABD的外接圆交BC于E,求证AD=EC

答案

Answer 1

证：连接AE
因为BD为∠B的平分线，所以∠ABD=∠EBD
在外接圆中，∠ABD=∠EBD 根据圆周角的性质 ，得 弧AD=弧ED
而弧ED另一对应的圆周角为∠EAD，所以 ∠EAD=∠ABD
又 AB=BC，所以∠BAD=∠C （你给的AB=AC条件我证不出，我怀疑是不是AB=BC）
所以 △BAD≌△ACE （角边角）
所以 AD=CE
能力有限~

Answer 2

由于BD为∠B的平分线，AD=DE，
又∠EDC=∠EAD+∠AED=∠ABC=∠C,所以ED=EC,
即AD=EC

Answer 3

连接AE
∵D、E为△ABD外接圆上的点
∴∠ADB＝∠AEB＝90°
∵∠CAE，∠CBD所对应圆弧都为弧ED
∴∠CAE＝∠CBD
∵BD为∠B的平分线
∴∠ABD＝∠CBD
∴∠ABD＝∠CAE
∵AB=AC
∴△ABD全等于△CAE
∴AD=EC

Answer 4

证明：连接DE
∵BD为∠B的平分线
∴∠ABD=∠DBC
∵A、D、E、B共园
∴AD=DE，∠ABE+∠ADE=180°
∵∠ADE+∠CDE=180°
∴∠CDE=∠ABE
∵AB=AC
∴∠ABE=∠ABC=∠C
∴∠C=∠CDE
∴DE=CE
∴AD=CE