Question

如图，四边形OABC是矩形，OA＝4，OC＝8，将矩形OABC沿直线AC折叠

四边形OABC是矩形，OA=4，OC=8，将矩形OABC沿直线OB折叠。使点A落在D处，BD交OC于E。
【1】求OE的长
【2】求过O,C,D三点抛物线的解析式
【3】若F为过O,D,C三点抛物线的顶点，一动点P从点A出发，沿射线AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当运动时间t秒为何值时，直线PF把△FOB分成面积之比为1：3的两部分？

请详细解答第三题。

Answer 1

解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴∠CDE=∠AOE=90°，OA=BC=CD．
又∵∠CED=∠OEA，
∴△CDE≌△AOE．
∴OE=DE．
∴OE2+OA2=（AD-DE）²，
即OE2+42=（8-OE)²，
解之，得OE=3．
（2）EC=8-3=5．如图4，过D作DG⊥EC于G，
∴△DGE∽△CDE．
∴DE:EC=DG;D ，ED:EC=EG:DE ．
∴DG=12/5 ，EG=9/5 ．
∴D（24/5,5/12→） ．
因O点为坐标原点，
故可设过O，C，D三点抛物线的解析式为y=ax2+bx．
∴ 64a+8b=0 (24/5)²a+24/5b=12/5 解a=-5/32 b=5/4 y=-5/32x²+5/4x
（3）∵抛物线的对称轴为x=4，
∴其顶点坐标为(4,5/2) ．
设直线AC的解析式为y=kx+b，
则 8k+b=0 b=-4解之，得k=1/2 b=-4
∴ y=1/2x-4．
设直线FP交直线AC于H（m， 1/2m-4），过H作HM⊥OA于M．
∴△AMH∽△AOC．
∴HM：OC=AH：AC．
∵S△FAH：S△FHC=1：3或3：1，
∴AH：HC=1：3或3：1，
∴HM：OC=AH：AC=1：4或3：4．
∴HM=2或6，
即m=2或6．
∴H1（2，-3），H2（6，-1）．
直线FH1的解析式为y=11/4 x-17/2 ．
当y=-4时，x=18/11 ．
直线FH2的解析式为y=-7/4x+19/2 ．
当y=-4时，x=54/7 ．
∴当t=18/11 秒或54/7 秒时，
直线FP把△FAC分成面积之比为1：3的两部分．

追问

对不起，我没学过相似三角形，有其他方法吗？

追答

那你做这个题就超前了 ，这题就是用相似做。

追问

这是元培中学上一届初三期中考题，老师让我们做的。老师没说这题不能做，会不会有别的做法。

追答

初三好像有学相似，不过你先写上去，估计你们快讲到了

追问

算了，还是不写吧，本来就没学过，要下节课才学，现在做了算什么，我们老师查这个查很严的，严禁抄袭。