Question

已知点A,B的坐标分别为(-4,0),(-1,0),动点P满足|PA|=2|PB|，过点M（2，1）作直线与轨迹C相切，求切点的坐

已知点A,B的坐标分别为(-4,0),(-1,0),动点P满足|PA|=2|PB|，过点M（2，1）作直线与轨迹C相切，求切点的坐标。

Answer 1

动点P的轨迹为C的话(题目描述不全，只能按题意猜测)
(1)根据平面直角坐标系两点距离公式和题目条件 对轨迹C上任何一点(x,y)，满足
(x+4)^2+y^2=4*(x+1)^2+4*y^2 (^为乘方符号) (*-1)

化简得到
X^2+Y^2=4 (*-2)

而满足这一条件所有点根据题意都在轨迹C上，也即(*-2)为轨迹C的曲线方程

(2) 过点M的直线"族"在斜率存在的情况下可以表示为y=a(x-2)+1 (*-3)
注意不失一般性的有直线x=2(*-4)也满足题意(斜率无穷大的情况，可以理解为不存在)

联立(*-2) (*-3) 得到一个以x为未知数的一元二次方程，直线与轨迹C相切的一个必要条件为有且仅有一个交点，此时对于该一元二次方程而言，有二重根(设为X)。此时根据此条件可以解的a的取值，设为A,则切点为(X,A*X-2*A+1)

联立(*-2)和(*-4)得到一个以y为未知数的一元二次方程，如果有二重根Y，则x=2为一切线。切点坐标为(2,Y)

(如果中间一步化简无错的话，这个曲线显而易见是个圆，但是这个解题思路没有用到任何圆相关的性质；因为个人而言长时间没用过解析几何的东西，这里也没有用到其他一些定理，期待楼下有更好的解答，这个思路只是具有一定的一般性，在一些比较难以计算的情况下，可能需要花费很多时间求解)

Answer 2

设P(x,y),则
√(x+4)^2+(y-0)^2=2√(x+1)^2+(y-0)^2
x^2+8x+16+y^2=4x^2+8x+4+4y^2
3x^2+3y^2=12
C:x^2+y^2=4
点M（2，1）作直线与轨迹C相切，
1.显然一条切线为x=2,切点为(2,0)
2.设切点为(a,b)
a^2+b^2=4
切线的斜率与切点与圆心连线的斜率互为负倒数,即
b/a*(b-1)/(a-2)=-1
a^2+b^2=2a+b=4
解得
a=6/5,b=8/5
所以另一切点为(6/5,8/5).