Question

设f(x)在（a,b)上可微，f'(x)严格单调递增，证明 a<x<b时有 f(x)-f(a)/x-a<f(b)-f(a)/b-a

左用泰勒公式，求详细解

Answer 1

对任意x属于(a,b),固定。将函数在x处作泰勒展开。将a，b分别代入展开式有。
f(a)=f(x)+f'(x1)(a-x);
f(b)=f(x)+f'(x2)(b-x); a<x1<x<x2<b 所以f'(x1)<f'(x2)
相减
f(b)-f(a)=f'(x2)(b-x)-f'(x1)(a-x)>f'(x1)(b-x)-f'(x1)(a-x)=f'(x1)(b-a)
所以(f(b)-f(a))/(b-a)>f'(x1)=(f(a)-f(x))/(a-x)=(f(x)-f(a))/(x-a) 这里第一个等号利用了第一个等式。

Answer 2

中值定理。因为可微必连续。