Question

怎么求隐函数的导数

说的详细点，易懂点

Answer 1

对于一个已经确定存在且可导的情况下，我们可以用复合函数求导的链式法则来进行求导。在方程左右两边都对x进行求导，由于y其实是x的一个函数，所以可以直接得到带有 y' 的一个方程，然后化简得到 y' 的表达式。 　　隐函数导数的求解一般可以采用以下方法： 　　隐函数左右两边对x求导（但要注意把y看作x的函数）； 利用一阶微分形式不变的性质分别对x和y求导，再通过移项求得的值； 把n元隐函数看作(n+1)元函数，通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。举个例子，若欲求z = f(x,y)的导数，那么可以将原隐函数通过移项化为f(x,y,z) = 0的形式，然后通过（式中F'yF'x分别表示y和x对z的偏导数）来求解。
　设方 程P(x, y)=0确定y是x的函数, 并且可导. 现在可以利用复合函数求导公式可求出隐函数y对x的导数. 　　例1 方程 x2+y2-r 2=0确定了一个以x为自变量, 以y为因变量的数, 为了求y对x的导数, 将上式两边逐项对x求导, 并将y2看作x的复合函数, 则有 　　(x2)+ (y2)- (r 2)=0, 　　即 2x+2y =0, 　　于是得 . 　　从上例可以看到, 在等式两边逐项对自变量求导数, 即可得到一个包含y¢的一次方程, 解出y¢, 即为隐函数的导数. 　　例2 求由方程y2=2px所确定的隐函数y=f(x)的导数. 　　解: 将方程两边同时对x求导, 得 　　2y y¢=2p, 　　解出y¢即得 　　. 　　例3 求由方程y=x ln y所确定的隐函数y=f(x)的导数. 　　解: 将方程两边同时对x求导, 得 　　y¢=ln y+x× ×y¢, 　　解出y¢即得 . 　　例4 由方程x2+x y+y2=4确定y是x的函数, 求其曲线上点(2, -2)处的切线方程. 　　解: 将方程两边同时对x求导, 得 　　2x+y+x y¢+2y y¢=0, 　　解出y¢即得 　　. 　　所求切线的斜率为 　　k=y¢|x=2,y=-2=1, 　　于是所求切线为 　　y-(-2)=×(x-2), 即y=x-4.