求这个题目的解法 10
x=22.5°是1解,此时∠BAC=90°。
如图,作△ABC的高AD,设AE=ED=我,则AD=√2,
AB=1/sin3x,BE=1/tan3x,AC=1/sinx,CD=BD=1+1/tan3x,
在△ACD中用余弦定理:
AC²=AD²+CD²-2AD.CDcos(ADC)
1/sin²x=2+(1+1/tan3x)²-2√2.(1+1/tan3x).cos135°
1/sin²x=2+(1+1/tan3x)²+2√2.(1+1/tan3x).√2/2
1/sin²x=2+(1+1/tan3x)²+2(1+1/tan3x)
1/sin²x-1=1+(1+1/tan3x)²+2(1+1/tan3x)
cos²x/sin²x=(2+tan3x)²
开方:
cosx/sinx=2+tan3x
2=cosx/sinx-cos3x/sin3x
=(sin3xcosx-cos3xsinx)/(sinxsin3x)
=sin2x/(sinxsin3x)
=2cosx/sin3x
cosx=sin3x,
x与3x互余,4x=90°,x=22.5°。
下面讨论,3x是直角或钝角的情形:
如果3x=90°,B、E重合,x=30°,AE=ED=CD,但是AC=2AE,∴AC=BC,斜边=直角边,矛盾。
3x>90°,x>30°,
0<BD<ED<1,0<1+1/tanx<1,tanx<0,-1<1/tan3x,-tan3x>1,tan3x<-1,3x<135°,x<45°。
此时,3x=90°+x,x=45°,矛盾。