Question

如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC的中点，连接AE并延长DC的延长线于点F，当△ADF满足何条件时

如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC的中点，连接AE并延长DC的延长线于点F。（1）求证：AB=CF （2）当△ADF满足何条件时四边形ABCF是正方形，说明理由！

Answer 1

(1)证明:AB平行CD,则:∠ABE=∠FCE;
又BE=CE;∠AEB=∠FEC.
所以,⊿AEB≌⊿FEC,AB=CF.
(2)当△ADF满足:AD=AF,∠DAF=90°时,四边形ABFC为正方形.
证明:AB=CF,AB平行CF,则四边形ABFC为平行四边形;
AD=AF,∠DAF=90°,CD=AB=CF,则AC=DF/2=CF,得四边形ABFC为菱形.
且AC垂直DF(等腰三角形底边的中线也是底边的高).
所以,四边形ABFC为正方形.

Answer 2

(1)
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD
∴∠ABE=∠FCE，∠BAE=∠CFE，∵BE=CE
∴△ABE≌△CFE
∴AB=CF
（2）△ADF是等腰直角三角形
证明：
若四边形ABCF为正方形
则∠AFC=90°，AC=CF，AC⊥DF
∵CD=AB=CF
∴AC=FC=CD
∴△ADF是等腰三角形
∵AC⊥DF
∴AF=AD
∴△AFD是等腰直角三角形

Answer 3

∵AD∥BC ( 已知平行四边形的对边平行）
∴∠ADC=∠BCF ( 两直线平行同位角相等）
∴△FEC∽△FAD ( ∠CFE=∠CFE,∠ECF=∠ADF )
且CE=1/2 AD ( 点E是BC的中点，就是CE=1/2BC=1/2AD )
∴ CE : AD = FC : FD = 1:2
∴FC=CD=AB

Answer 4

(1) 三角形bfc中 BE=CE
所以BF=CF
(2)△ADF为等腰直角三角形时，四边形ABCF是正方形，