Question

高等数学题目解答！！！

1.若F(x)在(a,b)之间连续，在K区间可导，且a＞0，至少在(a,b)区间内有一点ξ，使得2ξ（F(a)-F(b))=(b²-a²）F(ξ)
2.f(x)在（a,b)具有二阶导数，且f(x1)=f(x2)=f(x3),其中0＜a＜x1＜x2＜x3＜b.证明在(X1，X3)区间内至少有一点ξ，使得F(ξ)二阶导数=0
3.若f(x)在闭区间0，1 具有二阶导数，f(1)=f(0),领F(x)=x²f(x),则在(0,1)至少有一点ξ，使得F(ξ)二阶导数=0
4.求F(x)=e的2X次方，求在X=0处的N阶方程，运用泰勒公式！！！！

Answer 1

1. 这个看起来用柯西中值定理，但又不是，感觉不对，要是2ξ（F(b)-F(a))=(b²-a²)F'(ξ)  =>

（F(b)-F(a))/(b²-a²）=F'(ξ)/(2ξ) 这样，就可以用柯西中值定理

2. 用两次洛尔定理，分别由于f(x1)=f(x2)，∃ξ1∈（x1,x2),f‘（ξ1）=0，由于f(x2)=f(x3),，∃ξ2∈（x2,x3),f‘（ξ2）=0，再用洛尔定理，f‘（ξ1）=f‘（ξ2），∃ξ∈（ξ1，ξ2），f‘’（ξ）=0。

3.还没想出来

4.F(x)的n阶导数为2^n*e^(2x) （由于一阶2*e^(2x)，二阶2^2*e^(2x),顺次可推得，要是证明的话，用数学归纳法），所以用泰勒公式就有F(x)=F(0)+F'(0)x+F''(0)/2*x^2+....+Fn阶(0)/n!*x^n+o(x^n)

实际上F(x)展开式为∑(2x)^n/n!，其中n=0，1,....∞（可见图）