Question

已知定义在（0，正无穷大）上的函数f(x)对任意x,y属于（0，正无穷大），恒有f(xy)=f(x)+f(y),且当x＞1时

已知定义在（0，正无穷大）上的函数f(x)对任意x,y属于（0，正无穷大），恒有f(xy)=f(x)+f(y),且当x＞1时，,f(x)＜0；f（2）=﹣1.（1）求证f（x）在（0，正无穷大）上是减函数；（2）解不等式f(x)+f(x－3)＞﹣2

Answer 1

（1）令0<x1<x2，则x2/x1>1，因为当x＞1时，f(x)＜0；所以：f(x2/x1)<0
x2=(x2/x1)*x1
因为f(x)对任意x,y属于（0，正无穷大），恒有f(xy)=f(x)+f(y),
所以：f(x2)=f[(x2/x1)*x1]=f(x2/x1)+f(x1)
即：f(x2)-f(x1)=f(x2/x1)
因为f(x2/x1)<0
所以：f(x2)-f(x1)<0
即0<x1<x2时，f(x1)>f(x2)
所以，f(x)在（0，正无穷大）上是减函数；
（注：这才是最标准的抽象函数的做法，其它做法基本都会有些细节问题）
（2）首先定义域要求：x>0，x-3>0；得：x>3
由题意：f(x)+f(x-3)=f(x²-3x)
f(2)=-1，则f(4)=f(2)+f(2)=-2
所以，原不等式化为：f(x²-3x)>f(4)；
由单调递减性：x²-3x<4，
即：x²-3x-4<0，即：(x-4)(x+1)<0，得：-1<x<4；
结合定义域的要求：x>3
所以，3<x<4
即所求不等式的解为：3<x<4

希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！

Answer 2

f(2x)=f(x)+f(2)=f(x)-1
f(2x)-f(x)=-1<0 所以函数在(0,+∞)上是减函数
2 f(x)+f(x-3)>-2
f[x(x-3)]>-2>2f(2)
f[x(x-3)]>f(4)
x(x-3)<4
x²-3x-4<0
(x-4)(x+1)<0
-1<x<4 由于 定义域为(0,+∞) 所以0<x<4