Question

已知抛物线的方程为y2=6x求过焦点F的弦的中点的轨迹

Answer 1

y²=6x的焦点为F(3/2,0)，设A(x1,y1)，B(x2,y2)为焦点弦AB两个端点的坐标，
M（x，y）为AB的中点。
①当AB⊥x轴时，M点就的F
②当AB与x轴不垂直时，设AB所在的直线方程为
y=k(x - 3/2) (1)
将A、B的坐标代入 y²=6x，得
y1²=6•x1
y2²=6•x2
两式相减，得 y2²- y1²=6(x2-x1)
因为AB与x轴不垂直，所以有
(y2-y1)/(x2-x1)=6/(y1+y2)
即 k=6/(y1+y2)=3/y
另一方面，由于M是AB的中点，在直线AB上，所以M的坐标也满足（1）式。
将k=3/y 代入 (1) 式，得
y²=3(x-3/2) (2)
容易看出，当M与F重合时，坐标也适合 （2）式
所以过焦点F的弦的中点的轨迹 方程为
y²=3(x-3/2)
这是一个顶点为(3/2，0)对称轴为x轴的抛物线。