Question

如图，在平行四边形abcd中，对角线ac,bd交于点o,e是bd延长线上的一点，且三角形ace是等边三角形。

1.求证：四边形abcd是菱形
2.若角aed=2角ead,求证：四边形abcd是正方形。

Answer 1

∵AO=CO(平行四边形对角线互相平分）
OE=OE（公共边）
AE=CE（等边三角形）
∴△AOE≌△COE
∴∠AOE=∠COE=90°
∴平行四边形ABCD为菱形（对角线互相垂直）
（或者证明△AOD≌△COD 可以推论出AD=CD=BC=AB 也可以）

第二问 OE为∠AEC的平分线（等边三角形的三线合一）
∴∠AED=30°
∴∠EAD=15°
∴∠DAC=45°
AD=CD
∴ ∠DAC=45°
∴∠ADC=90°
∴四边形ABCD为正方形

Answer 2

1、∵∠ACE为等边△
∴AE=CE
∴EO⊥AC（三线合一）
∴平行四边形ABCD为菱形

Answer 3

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO．
∵△ACE是等边三角形，
∴EO⊥AC（三线合一）
∴四边形ABCD是菱形．

（2）从上易得：△AOE是直角三角形，
∴∠AED+∠EAO=90°
∵△ACE是等边三角形，
∴∠EAO=60°，
∴∠AED=30°
∵∠AED=2∠EAD
∴∠EAD=15°，
∴∠DAO=∠EAO-∠EAD=45°
∵四边形ABCD是菱形．
∴∠BAD=2∠DAO=90°
∴平行四边形ABCD是正方形．

Answer 4

不知道~