Question

已知ab≠0，求证：a+b=1的充要条件是a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0

高二的题目，要求详细求证

Answer 1

必要性：由a+b=1推出a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0
a^3+b^3+ab-a^2-b^2
=(a+b)(a^2-ab+b^2)-a^2+ab-b^2
由a+b=1有上式=0

充分性：由a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0推出a+b=1
a^3+b^3+ab-a^2-b^2
=(a+b)(a^2-ab+b^2)-a^2+ab-b^2
=(a^2-ab+b^2)(a+b-1)
=(a+b-1)[(a-b/2)^2+3b^2/4]=0
因为ab≠0，所以a≠0,b≠0,所以(a-b/2)^2+3b^2/4>0
所以a+b-1=0,a+b=1

Answer 2

a^3+b^3+ab-a^2-b^2=(a+b)(a^2+b^2-ab)
所以当a+b=1可以推出原式=0
当原式＝0，因为a^2+b^2-ab恒大于0（用的他算）
所以可以知道a+b=1
得证

Answer 3

若a+b=1
(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)=a^3+b^3+3ab=1
(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=1
作差：a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0

若:a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0
(a+b)(a^2-ab+b^2)-(a^2+b^2-ab)=0
(a+b-1)(a^2+b^2-ab)=(a+b+1)[(a-b/2)^2+3b^2/4]=0
所以a+b=1