Question

如图BD为圆O直径,AB=AC AD交BC于点E，AE=2，ED=4

第一问是求AB的长，第二问是延长DB到F使BF=BO,连接FA,证明FA与圆O相切

Answer 1

1）由题意可以得到：三角形ACE和三角形BDE相似，且AE/ED=1/2，，所以AC/BD=1/2
所以AB/BD=1/2，又因为BD为圆O直径，所以角BAD为直角，所以角ABD为60°，
所以AB=AD*cot角BAD=2*根号下3.
2）因为BF=BO=R（半径），所以BF=BO=AB，即对应边的一半等于中线，所以三角形OAF为直角三角形，且角FAO为直角，即OA垂直AF，所以FA与圆O相切

Answer 2

解答：解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠C与∠D是同弧所对的圆周角，
∴∠C=∠D，
∴∠ABE=∠D，
而∠BAE=∠DAB，
∴△BAE∽△DAB，
∴AB：AD=AE：AB，即AB2=AD•AE，
又∵AE=2，ED=4．
∴AD=6，
∴AB2=2×6=12，
∴AB=2 3；

（2）直线FA与⊙O相切．理由如下：
连OA，如图，
∵BD为直径，
∴∠BAD=90°，
∴BD=AB2+AD2=(2
3) 2+62=43，
∴∠D=30°，
∴∠AOB=60°，
∴△OAB为等边三角形，
∴AB=BO，
又∵BF=BO，
∴AB=BF=BO，
∴∠ABO=∠AOB=60°，∠F=∠FAB，
∴∠F=∠FAB=12∠ABO=30°，
∴∠OAF=∠FAB+∠BAO=90°，
∴直线AF是⊙O的切线．点评：本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理及其推论以及三角形相似的判定与性质．

Answer 3

所以角BAD为直角;BD=1/，即对应边的一半等于中线，所以三角形OAF为直角三角形.
2）因为BF=BO=R（半径），，又因为BD为圆O直径，所以AC/，且角FAO为直角，
所以AB=AD*cot角BAD=2*根号下3;2
所以AB/，即OA垂直AF;2;BD=1/，所以角ABD为60°;ED=1/，所以BF=BO=AB：三角形ACE和三角形BDE相似1）由题意可以得到，且AE/2

Answer 4

（1）易得△ABE与△ADB的三个内角相等，故△ABE∽△ADB，进而可得
ABAD=
AEAB；代入数据可得答案．
（2）连接OA，根据勾股定理可得BF=BO=AB；易得∠OAF=90°，故可得直线FA与⊙O相切．
1、证明：因为角BDA与角BCA相等（圆周角），AB=AC（等腰三角形），所以角BDA=角ABE，又因为角BAD=角BAE（直角），所以△ABE相似于△ADB
2、解：相切。连接AO
因为AO=BO=PB，所以有三角形APO是直角三角形（角PAO=90）
所以AP与圆相切

Answer 5

：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
而∠C=∠D，
∴∠ABE=∠D，
而∠BAE=∠DAB，
∴△BAE∽△DAB，
∴AB：AD=AE：AB，即AB2=AD•AE，
又∵AE=2，ED=4．
∴AD=6，
∴AB2=2×6=12，
∴AB=23；
（2）直线FA与⊙O相切．理由如下：
连OA，如图，
∵BD为直径，
∴∠BAD=90°，
∴BD=AB2+AD2=(23)2+62=43，
∴∠D=30°，
∴∠AOB=60°，
∴△OAB为等边三角形，
∴AB=BO，
又∵BF=BO，
∴AB=BF=BO，
∴△OAF为直角三角形，即∠OAF=90°，
∴直线AF是⊙O的切线．