Question

在直角三角形ABC中,角ACB等于90度,AC等于5,CB等于12,AD是角CAB的角平分线,过A,C,D

在直角三角形ABC中，角ACB等于90度，AC等于5，CB等于12，AD是角CAB的角平分线，过A，C，D三点的圆与斜边AB交于E,连接DE.（1)求证AC等于AE.（2）求三角形ACD外接圆的半径？

Answer 1

解：
1）因为AD为直径，
所以∠AED=90,
因为∠ACB=90,
所以∠AED=∠ACB,
因为AD是角CAB的角平分线
所以∠CAD=∠ADE,
所以∠CDA=∠ADE,
所以AC=AE(同圆中，相等的圆周角所对的弦相等)

2）因为AD是角CAB的角平分线
所以AC/AB=CD/BD
即5/13=CD/BD,
所以18/13=(CD+BC)/BD
解得BD=10/3
在直角三角形ACD中，由勾股定理，得AD=(5/3)√13
所以三角形ACD外接圆的半径=(5/6)√13

Answer 2

（1）因为三角形ACD是直角的，设圆心为O，AD为斜边，（直角三角形中斜边就是外接圆的直径），所以三角形ADE为直角三角形，ACD与AED全等，所以AC=AE
（2） 因为AD是角平分线，所以CD=DE,三角形BDE 与BAC相似
所以BD/AB=DE/AC,又CD=DE,所以DE=CD=10/3，在三角形ACD中，由勾股定理可得AD=5根号下13/3，所以半径为5根号下13/6