Question

高数题，如下。

Answer 1

题1，
继续用以下等价无穷小替换的结论：
“如果lim(x→0）（e^x-1）/x=1，可以把e^x -1换成x”，
现在将分子e^2x -1换成2x，
则得lim(x→0）4x/e^xsin2x=2。
题2，
lim(x→∞）x+sinx/x-sinx
=lim(x→∞）[1+(1/x)*sinx] / [1-(1/x)*sinx]
=1 （因为lim(x→∞）(1/x)*sinx=0：有界量sinx乘无穷小量1/x）
但是，如果用洛必达法则，解不出来：
lim(x→∞）x+sinx/x-sinx
=lim(x→∞）[1+cosx] / [1-cosx]，
上面的极限，因为lim(x→∞）cosx不存在，所以分子分母的极限都不存在，
即洛必达法则中的“f'(x)/g'(x)的极限存在”的条件不具备。