Question

设f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数f（x）满足f（1）=1，且当a,b∈[-1,1],当a+b≠0时，都有f(a)+f(b)/a+b＞0

（1）判定f（x）在[-1,1]上的单调性并证明；
（2）解不等式f（x+1/2）＜f（1/x-1）；
（3）若f（x）≤ m^2-2am+1 时，a∈[-1,1]恒成立，求m的取值范围。

Answer 1

（1）设：a=x1，b=-x2
代入f(a)+f(b)/a+b＞0，得
f(x1)+f(-x2)/x1-x2＞0
又因为f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数f（x）
所以
f（-x2）=-f（x2）
f(x1)-f(x2)/x1-x2＞0
所以f（x）为增函数
（2）因为f（x）为增函数
所以x+1/2<1/x-1
又因为f(x)是定义在[-1,1]
所以-1<=x+1/2<=1
-1<=1/x-1<=1
解得
x为空集
（3）因为f（x）为增函数
所以f（x）最大为f（1）
所以1≤ m^2-2am+1 时，a∈[-1,1]恒成立
0≤ m^2-2am，a∈[-1,1]恒成立
把m看成定值
则m^2-2am为直线
所以0≤m^2-2m
且0≤m^2+2m
所以m=0或m>=2或m<=-2