Question

关于数学中偏导和隐函数求导的问题。

现在学到了多元函数微分法，在做题时，实在搞不懂什么时候求偏导什么时候是隐函数求导，请老师帮我分类介绍下，谢谢！

Answer 1

隐函数是用式子F(x，y)=0来表示的，其实质仍然是每个x对应唯一的一个y值，
在对隐函数求导的时候，就是用原来的式子对x求导数，而把y视为一个中间变量，再求导一次后得到y'
如y²对x求导就得到2yy'

例如对于隐函数x²+y²=0，
x²对x求导得到2x，y²对x求导得到2yy'
所以其导函数即为：2x+2yy'=0
（即最后的结果仍然可以是隐函数的形式，可以不把y用x来表示）

而多元函数是用式子z=f(x，y)来表示的，即一组数(x，y)通过一定的计算来对应一个数z
（当然也可以由更多的数来表示，如z=f(x1，x2，x3……xn) ）
二元函数z=f(x，y)在(x0，y0)处对x的偏导数，实际上就是把y固定在y0看成常数后，一元函数z=f(x，y0)在x0处的导数
同样，z在(x0，y0)处对y的偏导数，就是把x固定在x0看成常数后，一元函数z=f(x0，y)在y0处的导数

例如对于隐函数z=x²+y²，
z对x求偏导的时候就把y视为常数，
而x²对x求导得到2x，即∂z/∂x=2x
同理，z对y求偏导的时候就把x视为常数，
而y²对y求导得到2y，即∂z/∂y=2y

多元函数和隐函数最大的区别就是二者的解析式，
多元函数为z=f(x，y)，而隐函数为F(x，y)=0，这是解题的关键

Answer 2

偏导数：对谁偏导把谁看成未知数，其他量看成常数然后就将求偏导转化为求导了。
隐函数求导：记住y是x的一个函数在对y求导时变成了复合函数的导数，先对y求导再乘于y‘；或者转化为y的偏导除于x的偏导再取相反数。
在判断可微时常用偏导，即针对多元函数，在判断单调性，求最值极值时常用求导（包括隐函数求导），即针对一元函数。