Question

已知定义在(0，+∞)上的函数F(x)满足：①对于任意的x，y∈（0，+∞）都有f(xy)=f(x)+f(y)；（接下）

②当x>1时，f(x)>0。求证：（1）f(1)=0；（2）对任意的x∈（0，+∞），有f(1/x)=-f(x)；(3)f(x)在（0，+∞）上是增函数。

Answer 1

(1)当x=1时，因f(xy)=f(x)+f(y)，所以f(y)=f(1)+f(y)，得出f(1)=0。

（2）f(1)=f(x*1/x)=f(x)+f(1/x)=0，所以f(1/x)=-f(x)。
（3）令x2>x1>0，则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(1/x1)=f(x2/x1)。因x2/x1>1，所以f(x2/x1)>0。
所以f(x2)-f(x1)>0；f(x2)>f(x1)。所以f(x)在（0，+∞）上是增函数。