Question

如图，在平面直角坐标系中,点A、B、C的坐标分别为(0,2)、(-1,0)、(4,0)点P是线段OC上的一动点

如图，在平面直角坐标系中,点A、B、C的坐标分别为(0,2)、(-1,0)、(4,0)点P是线段OC上的一动点（点P与点O、C不重合），过点P的直线x=t与AC交于点Q；设四边形ABPQ关于直线x=t的对称的图形与△QPC重叠部分面积为S。
（1）点B关于直线x=t的对称点B’的坐标为__________;
（2）求S与t的函数关系式。

Answer 1

解：
（1）B'（2t+1,0）。
（2）由题意知0<t<4。设四边形ABPQ关于直线x=t对称的图形为四边形A'B'PQ。
①当2t+1≤4，也即0<t≤1.5时，A'B'与AC相交，设交点为M（t=1.5时交点M与C点重合）。
A'点坐标为A'（2t,2），则直线A'B'方程为y-0=-2(x-2t-1)，即y=-2(x-2t-1)。
直线AC方程为y-0=-1/2*(x-4)，即y=-(x-4)/2。联立可解得交点M坐标为M(8t/3,2-4t/3)。
直线AC与直线x=t的交点Q的坐标为Q(t,-(t-4)/2)。则四边形A'B'PQ与△QPC重叠部分面积为：
S=S四边形QPB'M=S△QPC-S△MB'C=1/2*(4-t)*[-(t-4)/2]-1/2*[4-(2t+1)]*(2-4t/3)=-13t^2/12+2t+1
②1.5<t<4时，A'B'与AC不相交。此时重叠部分即为△QPC。则
S=S△QPC=1/2*(4-t)*[-(t-4)/2]=-(t-4)^2/4。
综上，可得S与t的函数关系式为：
-13t^2/12+2t+1， 0<t≤1.5
S={
-(t-4)^2/4， 1.5<t<4

Answer 2

解：（1）设B′横坐标为a，
则 =t，
解得a=2t+1．
故B′点坐标为（2t+1，0）．

（2）①如图，当1.5＜t≤4时，重合部分为三角形，
∵△CPQ∽△COA，
∵ ，
即 ，
则PQ= ．
于是S△QPC= （4-t） = （1.5＜t≤4），

②如图，0＜t≤1.5时，重合部分为四边形，
∵A点坐标为（0，2），
∴A′点坐标为（2t，2），
又∵B′点坐标为（2t+1，0），
设直线A′B′解析式为y=kx+b，则将A′（2t，2），
和B′（2t+1，0）分别代入解析式得，