Question

高数利用中值定理证明不等式

1-1/x＜lnx＜x-1 （1＜x）

请问怎么解。。。

Answer 1

令f(x)=sinx/x，(π/2<=x<=π)，则f'(x)=(xcosx-sinx)/x^2<=0
所以f(x)在[π/2,π]上单调递减
所以0=sinπ/π<=sinx/x<=sin(π/2)/(π/2)=2/π
根据积分中值定理，存在k∈[π/2,π]，使得∫(π/2,π)
sinx/xdx=(π/2)*sink/k
所以0<=(π/2)*sink/k<=1
即0<=∫(π/2,π)
sinx/xdx<=1

Answer 2

证明：
令f(x)=lnx(x>1)
lnx=lnx-ln1=f'(1+θx)(x-1)=(x-1)/(1+θx)，θ∈(0,1) ...拉格朗日中值定理
∴1+θx∈(1，1+x)
∴1-1/x<(x-1)/(1+θx)＜x-1
即1-1/x＜lnx＜x-1

Answer 3

由柯西中值定理得(lnx-ln1)/(x-1)=1/ξ，其中1<ξ<x，整理1-1/x＜lnx＜x-1