Question

已知f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,且满足2f(x)+g(x)=1/(2x+1),求f(x)和g(x)

Answer 1

∵f(x)为偶函数,g(x)为奇函数 ∴f(-x)＝f(x) g(-x)＝-g(x)
∵2f(x)+g(x)=1/(2x+1) ………………………………………………（1）
∴2f(-x)＋g(-x)＝1/(-2x＋1) ∴2f(x)－g(x)＝1/(-2x＋1) ……（2）
（1）＋（2）得 4f(x)＝1/(2x+1) ＋1/(-2x＋1)
∴f(x)＝1/2(2x＋1)(-2x＋1)
∴g(x)＝-2x/(2x＋1)(-2x＋1)

Answer 2

解：因为f（x）为偶函数，所以f（x）=f（-x）；因为g(x)为奇函数，所以g（x）=-g（-x）
把已知等式中的x换为-x，即2f（-x）+g（-x）=1/（-2x+1）再与已知等式相加得：
2f（x）+2f（-x）=1/（2x+1）+1/（-2x+1），所以4f（x）=-2/（4x^2-1），
得f（x）=-1/（8x^2-2），带入已知等式中再算出g（x）