Question

设a,b,c分别为△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边,面积为S,求证

1.内切圆半径r=S/P,其中P=（a+b+c）/2
2.在RT△ABC中，∠C=90°，则R=（a+b+c）/2

Answer 1

1.A、B、C三个点分别连接内接圆心O则，三角形分为三个三角形，过圆心O分别作AB、BC和AC的垂线，则垂线的长度为r，所以S=S1+S2+S3=r*AB/2+r*BC/2+r*AC/2=r*(a+b+c)/2=r*P
所以：r=S/P,其中P=（a+b+c）/2
2.画出图形就可以知道，若令AC为斜边，内接圆与AB、BC和AC的交点分别为D、E、F，则AB=AD+BD,AC=AF+FC,BC=BF+FC,又因为都是切线，所以AD=AF，CF=CE,BD=BE=R,所以R=（a+b-c)/2
连接OD、OE，则ODBE为正方形，所以BD=BE=R